高振荡微分方程的渐近算法研究

With the rapid development of engineering application and high performance computer, the fast and accurate solution for highly oscillatory differential equation becomes a core issue. The traditional time-step numerical algorithm fails for this kind of equation due to its basic Taylor expansion property. ..In this proposal, combining with the application problem in engineering field, we make an intensive study of the analytical property for the highly oscillatory differential equation, announce the inherent relationship between the analytical and numerical properties, construct highly effective algorithm. The main contents include solving the new type highly oscillatory differential equations, constructing quadrature of new type highly oscillatory integral, developing the asymptotic algorithms for solving highly oscillatory differential equations with multi-frequency, and solving linearly high order oscillatory differential equation and so on. ..By practicing this project, We hope that there will be some important theoretical breakthrough in the highly oscillatory field which provides the theoretical base for engineering application and software design field.

随着工程应用和高性能计算机的日益发展，快速准确求解高振荡微分方程逐渐成为核心问题。传统时间步长法由于其本质的Taylor展式特点，很难有效准确的求解高振荡方程。本项目结合工程应用问题，深入研究振荡方程的解析特点，揭示解析特性与数值算法的内在联系，构建高效的解析渐近算法。主要包括新型振荡微分方程的渐近数值算法、新型振荡积分数值计算、多频振荡微分方程的渐近数值算法以及线性高阶振荡微分方程的解析数值算法；等。通过本项目的实施，试图在高振荡数值算法的基础研究的某些方面有所突破，进而能对工程科学领域和软件设计领域提供理论依据和基础。

随着工程应用和高性能计算机的日益发展，不断复杂化的物理方程对其数值算法的设计提出了越来越高的要求，因此构造和设计有效的现代数值算法以满足工程应用的需要是数值分析工作者们的首要任务。在现代数值算法领域中，高振荡微分方程和高振荡积分的计算是目前国际上最新的热点问题，也是非常重要的分支内容。.本申请项目主要研究针对带有高振荡多频强迫项的微分方程数值算法进行研究，主要包括：对于多频振荡一阶微分方程组、二阶微分方程组、高阶微分方程、微分代数方程以及Bessel振荡强迫项微分方程，构造了渐近展式算法。随着振荡因子的增加，传统的时间步长方法计算这些方程需要很大的计算量，甚至得不到有效的解。该渐近级数解能够有效地逼近高振荡方程的解，特别是随着振荡因子的增加，级数解的误差反而减小；对短波散射奇异振荡积分，建立渐近分析，构造渐近展式算法。相比于传统的Gauss求积算法，渐近算法只需很小的计算量就能得到相同精度的数值解。特别地，对于很高的振荡频率，在Gauss算法得不到有效数值解的情况下，渐近算法仍能计算出高效的数值解；对调和平衡法模拟电路系统的稳态问题，我们研究了不同的小波在调和平衡法中的量化特性和稀疏矩阵特点，有利于更好的实现进一步的非线性迭代算法；基于Guass和构造算术Fourier的快速算法；等等。.通过本项目的实施，我们在高振荡数值算法的基础理论研究的某些方面有所发现和突破，并且能对工程科学领域和软件设计领域提供理论依据和基础。