回归中的假设检验：一个模型自适应方法

In regression analysis, using correct model to fit model plays a key role for further analysis. When the number of covariates is large, there are no good methods either to converge to their limits quickly or to be asymptotically distribution-free which enforces the use of computationally intensive Monte Carlo approximation and cannot still efficiently determine the critical values of tests. This project uses an adaptive-to-model approach to fit the underlying model of data and then propose a generic method to construct test statistics of dimension reduction type. The tests can have the following two nice features. First, the tests can fully utilize the dimension reduction structure under the null hypothesis such that the tests have the convergence rates as the ones that only use covariates under the null hypothesis and then can well maintain the significance level and are easier to detect the alternatives. Second, when the data are in effect from the alternatives, the tests can automatically adapt to the models and projection pursuit technique can make the tests maintain the dimension reduction nature and detect the alternatives from any directions. Beside, for global smoothing tests constructed, Mote Carlo approximations can also better approach the sampling null distributions with higher power.

在回归分析中, 使用正确的回归模型拟合数据是进一步分析的关键.当解释变量个数较多时,文献中绝大多数方法要么以很慢的速度收敛到其弱极限,从而难以保持显著性水平,要么不是渐近分布自由,并且密集的蒙特卡洛模拟近似也无法有效地确定检验的临界值.本课题通过自适应方法拟合数据的真实模型,提出一个通用的方法构造具有降维特性的检验统计量.拟构造的回归检验将有下述两方面的优点.第一,该检验能充分利用原假设下模型的降维结构,使得其统计量的收敛速度如同仅需使用原假设下模型中的解释变量构造的检验统计量一样快.从而很好地保持显著性水平,并且更容易检测局部备择假设. 第二,当数据来自备择模型时,该检验能够自动去适应其模型,并且投影寻踪技术可以使得所构造的检验仍然具有降维特性并且可以检验出在任意方向偏离原假设下模型的备择模型.此外,对全局光滑检验,蒙特卡洛近似也可以更好地逼近原假设下统计量的分布,并且有更好的功效表现.

基于正确的拟合模型选择在回归分析中的重要性，考虑回归模型的检验问题是非常必要的。当解释变量维数较高时，传统方法或是不能以较快的速度收敛到极限分布，或是不具有渐近分布自由的性质。本项目对这种情况下的回归模型检验问题展开研究，提出了模型自适应检验方法，在解释变量维数发散、复杂数据类型以及其他相关的检验问题上利用这一检验方法取得了一系列的研究成果。. 本项目研究了解释变量维数随样本量发散时的含参单指标模型检验问题。我们在讨论了这一情况的模型参数最小二乘估计的基础上，构建了以残差标记的、经验过程形式的模型自适应检验统计量。这一检验统计量的构建同时利用了充分降维方法，使之能够减缓维数灾难对检验水平与功效的影响。研究证明，在原假设与备择假设下，当解释变量维数以一定速度随样本量发散时，我们提出的检验统计量依然能收敛到对应的渐近分布，从而保证较高的检验功效。. 本项目研究了涉及复杂数据的回归模型检验问题。对于一些复杂数据情况（响应变量存在缺失、数据存在测量误差、解释变量存在异常值等），我们利用充分降维技术，在残差的基础上构建检验统计量。研究证明，新的检验方法具有模型自适应性质，能够在处理复杂数据的同时，控制显著性水平并达到较高的检验功效。. 本项目还研究了变量显著性检验、条件独立性检验等其他检验问题。我们通过将此类问题转化为回归模型检验问题形式，利用充分降维方法，构建具有模型自适应性质的新检验方法。相关方法已被证明具有较理想的表现。. 在本项目的资助下，课题组已发表28篇SCI或SSCI期刊论文。本项目取得了创新性的研究成果，充实了相关领域理论研究，为实际应用提供了新的方法与理论指导。