单群分类定理的应用及p-群的两个公开问题

It is well-known that p-groups and simple groups are two "fundamental" group structure to construct finite groups. After the completion of classification of finite simple groups in 1982, there are three topics worth to be studied: to find out all structure information of simple groups, to find out all structure information of p-groups, and to study structure of finite groups by its simple sections. In this project, we use the Classification Theorem of Finite Simple Groups and three kinds of information to character finite groups: special lengths, degrees and numbers of irreducible characters, large element orders and order of 2-Sylow subgroup or order of a group, Shult's conjecture. On the structure of p-groups we study the generalizations of p-groups of maximal class and two open problems.

众所周知，p-群和单群是决定有限群结构的两个“基本的”群结构。1982年单群分类完成以后，单群本身的结构、p-群的结构、单群在决定有限群结构中如何发挥作用是三个值得研究的问题。本项目将以单群分类定理作为依据给出三种刻画有限群结构的方法（特殊共轭类长度与群结构，不可约特征标维数和个数对有限群结构的影响，高阶元的阶、2-Sylow子群阶或群的阶对群的结构的影响）、研究Shult猜想；在p-群结构方面，研究极大类p-群的推广及两个公开问题。

本项目主要以单群分类定理作为依据给出三种刻画有限群结构的方法（特殊共轭类长度与群结构，不可约特征标维数和个数对有限群结构的影响，高阶元的阶、2-Sylow子群阶或群的阶对群的结构的影响）；研究Shult猜想；在p-群结构方面，研究极大类p-群的推广及两个公开问题。. 本项目取得的主要成果是：用元素的轭类长和群的阶刻画散在单群，以及用子群的共轭类长研究了可解群，p-幂零群等的性质和结构；用不可约特征标的维数性质以及群的阶刻画了部分有限单群；利用群的部分元素的阶和群的阶研究了K_4、K_5单群以及L_2(q)、L_3(p)；对p>2,证明了特定条件下Shult猜想成立的；在局部幂零中推广了极大类p-群，同时还证明了群的阶充分大时候，本项目研究的两个问题是等价的，并给出了结构刻画。