与Borcherds提升相关的若干数论课题研究

The theory of Borcherds lifts is one of the key tools in the study of number theory and its related areas and has a variety of important applications in them. In this project, we employ the theory of Borcherds lifts to study the following three topics in number theory: (1) the Gross-Zagier discriminant formula and its extensions; (2) the Gross-Zagier conjecture on small CM points; and (3) interrelations between the Fourier coefficients of the generalized Weber functions. Through exploring these three topics, this project will help us understand deeper and more about the properties of certain ring class fields associated with imaginary quadratic fields, the relationship between the small CM values of higher weight automorphic Green functions and algebraic numbers, and the properties of the generalized Weber functions, which are expected to be helpful to other subsequent studies such as the Gross-Zagier conjecture on big CM points, the Yui-Zagier conjecture, the properties of the Fourier coefficients of the Dedekind eta function, etc.

Borcherds提升理论是目前研究数论及其相关领域的重要工具之一，并在其中有着非常重要且广泛的应用。在本项目中，我们主要利用Borcherds提升理论研究以下三个与数论相关的课题：（1）Gross-Zagier判别式公式及其推广；（2）关于小CM点的Gross-Zagier猜想；（3）广义Weber函数的Fourier系数的相互关系。通过对这三个课题的研究，本项目将帮助我们进一步了解虚二次域环类多项式的性质、高权自守Green函数的小CM值与代数数的关系以及广义Weber函数的性质，并期望这些结果有助于其他相关课题的研究，例如Gross-Zagier猜想对于大CM点的情况、著名的Yui-Zagier猜想、Dedekind eta函数的Fourier系数的性质等。

Borcherds提升理论是目前研究数论及其相关领域的重要工具之一，并在其中有着非常重要且广泛的应用。在本项目中，我们致力于研究与Borcherds提升理论相关的数论课题，例如著名的Gross-Zagier CM值公式和Gross-Zagier判别式公式等。我们得到的重要研究结果主要有：（1）我们结合Borcherds提升理论、自守Green函数和Bruinier-Kudla-Yang大CM值公式，将Gross-Zagier CM值公式和Gross-Zagier判别式公式推广到Hecke群、Fricke群的情况，从而证明了Chen-Yui猜想相关的情形，以及杨同海教授等数学家最近提出的关于模lambda不变量的猜想；（2）我们结合Borcherds提升理论和Schofer小CM值公式，对Gross-Zagier判别式给出新的证明，并将其推广到任意二次秩（quadratic order）的情况；（3）通过构造Borcherds提升，将Monster分母公式推广到Hecke群的情况，并计算出相应的Borcherds乘积，从而推导出Hecke群自守一致化子的Fourier系数的相互关系。在本项目的支持下，我们在Canadian Journal of Mathematics、Science China-Mathematics、Mathematische Nachrichten等国际学术期刊发表学术论文4篇。我们的工作将有助于研究虚二次域的类域扩张、类多项式，以及为日后研究Chen-Yui猜想打下重要基础。