基于矩阵补全的鲁棒线性规划模及算法研究

Matrix completion is a process of recovering the unknown or missing elements of a matrix. Linear programming is widely applied in many fields, such as national economy analysis. However, there are missing elements in the coefficient matrix of linear programming and known elements have uncertainty, both of which will greatly affect the precision of the linear programming. Existing research on this problem is very limited. When there are missing elements in the coefficient matrix of linear programming and known elements have uncertainty, this project will study robust linear optimization framework based on matrix completion. All these algorithms will be test in some applications, such as system control, Input-output analysis, Life-cycle assessment, and statistical analysis and provide basis and support for them.

当矩阵的元素有未知或缺失的情况下，矩阵补全(Matrix Completion，简记为：MC)是根据己知元素估计未知元素，把矩阵恢复完整的过程。线性规划己广泛应用于国民经济分析等领域，但是系数矩阵往往存在元素缺失且己知元素不精确，这严重影响了线性规划结果的精确度。国内外针对这一问题的研究目前还鲜有研究。在线性规划模型的系数矩阵存在信息缺失，并且己知元素存在噪声的情况下，本项目将使用刚刚兴起的技术：矩阵补全来求解线性规划，给出基于矩阵补全的鲁棒线性优化模型和算法。为系统控制、投入产出分析、生命周期估计和统计分析提供基础方法和支撑。

在科学与工程实践应用中，矩阵常用于描述物理量。在这些应用中，矩阵不可避免地存在信息缺失的问题，导致矩阵分析结果的精度大大降低。低秩矩阵补全能够根据已知元素估计未知元素，是解决矩阵信息缺失问题行之有效的方法之一。线性规划广泛应用于国民经济分析等领域，但是其中的系数矩阵往往存在元素缺失并且已知元素是不精确的，这严重影响了线性规划结果的精确度。本课题主要研究如何把低秩矩阵补全和鲁棒优化结合起来，用于求解线性规划。特别地，建立了基于矩阵补全的鲁棒线性优化模型和算法；利用非凸低秩矩阵分解，解决了高光谱图像的去噪问题；为鲁棒主成分分析的模型，建立了一种新的非凸近似模型和算法。这些模型和算法丰富了低秩矩阵补全，而且为系统控制、投入产出分析、生命周期估计提供基础方法和支撑。