推广框架的对偶刻画及其应用

Important features for Frame, which are different from the orthonormal basis, lie in that not only the frame coefficients are not unique in reconstruction, but also frames have more stronger stability of perturbation. We choose the more genaral frame (abbr. g-frame) as the research object in this project, we mainly study systematically the oblique dual reconstruction and Riesz dual construction for g-frames in depth. In details, we give kinds of equivalent characterizations for g-frams, and the sufficient conditions for the two sequences in the oblique dual construction to be interchanged. In the meantime we also investigate the correlations between g-frames'' oblique dual and Riesz dual, estimate the error of reconstruction in some practical applications, and seek for the optimal approximate solution,etc. These two duals have independence of each other, but also are interrelated.They will promote us better understanding the nature of the g-frame reconstructions, and at the same time they are new explorations of interdisciplinary for wavelet analysis, approximation, operator theory, functional analysis, etc.

框架不同于标准正交基的重要特性在于框架在重构时不仅系数可以不唯一，而且具有更强的扰动稳定性。本项目将一种更为一般的框架(简称g-框架)作为研究对象，针对g-框架的斜对偶重构和Riesz对偶重构问题进行深入系统地研究，主要探究g-框架斜对偶的多种等价刻画，斜对偶重构的两个序列可交换的充分条件，以及g-框架的斜对偶和Riesz对偶的相互关系，同时对两种对偶在具体应用的重构误差进行估计，寻求最佳逼近解等。这两种对偶既有独立性而彼此又相互关联，将促进我们更好地理解g-框架重构的本质，同时也是对小波分析，逼近论，算子理论，泛函分析等多学科交叉的新探索。

本项目对g-框架以及g-框架的推广型K-g-框架(包括其特殊型K-fusion框架以及K-框架)的对偶及其它如扰动,构造等性质作了一些深入的研究，具体体现在：一、对Hilbert空间g-框架，得到了一个g-框架A是另一g-框架B的斜对偶的一个等价条件，一对斜对偶框架对是对称的一个充分条件，并给出了斜对偶框架对的多种等价刻画及构造方法，特别给出了从一个给定框架通过添加元素去构造一对斜对偶框架一个具体的构造方法，且这个方法中添加的元素个数一般情况下少于去构造紧框架添加元素的个数；同时得到g-Bessel序列的一些等式和不等式；二、 得到了Hilbert空间g-框架的R-对偶序列的一个间接定义，并用g-框架的R-对偶序列来刻画了g-框架的一些性质；三、得到了K-框架擦除的若干性质及一个3参数的扰动结论，特别提供了从多角度构造K-fusion框架及K-g-框架的方法.