复杂网络中的几个理论问题

本项目采用统计运筹方法研究复杂网络中的几个理论问题，包括网络度分布数据的统计方法，网络节点度相关性的恰当测度，以及网络同步的最优结构设计。网络度分布、度相关性、动力学同步等都是复杂网络中的重要问题，受到学界广泛关注，但仍然留下许多未解决的难题。例如，网络动力学同步的最优结构将涉及拉普拉斯矩阵特征值的优化。本项目通过探索将建立面向网络数据的统计方法；明确无标度网络面对蓄意攻击脆弱与中枢节点邻域结构的关系；揭示网络动力学同步的规律，阐明增强网络同步能力的机理。这些问题数学上可归结为幂律分布的统计分析，联合分布的特征刻画，非线性数学规划的有效求解等。研究的难点在于没有现成的数学方法可以套用，往往需要从网络科学本身去寻找恰当的机理，然后设计有效的算法方能解决。这种尝试对于发展数学与交叉科学两者都有益，所得结果能够提高通信网络和交通网络等的效率，因此具有重要的理论意义和应用价值。

无标度网络的度分布，同步能力最强的网络结构，以及无标度网络面对蓄意攻击脆弱等都是国内外网络界关心的重要问题。我们就前两个问题进行了系统研究，后一个问题有所涉及，文章刚刚投稿。另外，我们还探索了重构家族血缘树的问题。首先，我们厘清了无标度网络的概念，它的度分布在双对数坐标上呈一条直线应该是重尾分布，并且给出了完整分类。其次，我们发现同步能力最强的网络结构是节点度数、路和、周长几乎全齐性的网络，并且构造了若干这类网络。在研究高可控性网络结构时，我们意外发现具有无标度拓扑的自然数同余网络，它不仅有高和强的结构可控性，而且其可控性面对蓄意攻击稳健而不脆弱。