特征标的线性极限及其应用

In order to study the several main conjectures of M-groups and simplify the over 240 pages proof of Loukaki's theorem about M-groups, Dade and Loukaki established the theory of linear limit of characters in 2004. The key point of this theory is to determine the existence of nilpotent linear limit and the theory has been developed into a powerful technology of representation theory of finite groups. We have concentrated on working on the theory of linear limit and its applications during the past five years. In a published paper, we brought up the idea of trivial linear limit for the first time and used it to give a necessary and sufficient condition of a group with Sylow towers to be an M-group. Based on the previous accumulation and work, we will study the nilpotency, triviality and stability of the linear limits in this project, which will play an important and elementary role in the theory of linear limit. As applications, they will be used to deal with the monomial characters, M-groups, restrictions of primitive characters and the degrees of primitive inductions, etc. Any significant developments or complete solutions of the above problems will not only have important theory meaning, but also supply a unified and effective inductive technology for the related character research.

为了研究 M-群的若干主要猜想，并简化 Loukaki 的 M-群定理长达 240 多页的证明，Dade 和 Loukaki 在 2004 年创立了特征标的线性极限理论，其核心问题是研究何时存在幂零的线性极限，该理论现已发展为有限群表示论的强有力技术。申请人五年来一直致力于探索线性极限的理论及应用，在所发表的论文中首次提出了线性极限的平凡性概念，并用之解决了 Sylow 塔群为 M-群的充要条件。在前期积累和工作的基础上，本项目拟研究线性极限的幂零性问题、平凡性问题以及稳定性问题，它们在线性极限理论中均属基本而重要的问题，作为应用可分别用来解决单项特征标的判别问题、M-群的刻画问题、本原特征标的限制问题以及本原诱导次数的控制问题。这些问题的重大进展或彻底解决，不仅具有重要的理论意义，而且将为相关特征标问题的研究提供统一和有效的约化技术。

特征标线性极限理论由Dade和Loukaki于2004年所创立，近年来被证明是研究单项特征标与M-群的有力工具。本项目研究特征标线性极限理论及其应用，主要做了以下几个方面的研究。. 第一，在线性极限理论的研究中，引入了新的概念，如Fitting子组、限制子、诱导子映射等。证明了幂零线性极限也是稳定子极限；使用Glauberman-Isaacs特征标对应和线性极限等技术，建立了一种新的特征标图表约化方法，研究了特征标三元组的单项性问题，得到了Dade一个经典结果的加强，据此给出了M-群的一类子群仍为M-群的充分条件。.第二，证明了在适当条件下，有限群G的任一不可约复特征标χ的本原诱导对(H,ξ)事实上都是由Dade和Isaacs引入的诱导子。作为应用，给出了若干关于相同本原诱导次数的结果。.第三，研究了可解群在M-群中的正规嵌入问题，讨论了什么条件下一个可解群一定可以或不可以正规嵌入一个M-群。