关于一类含临界Sobolev指数的Kirchhoff方程的研究

In this project, we will combine the variational methods, the theories of critical points and the scaling technique to study the existence and multiplicity of positive solutions and sign-changing solutions to a Kirchhoff equation with the Sobolev critical exponent, which is not only popular in the research areas of the nonlinear functional analysis but also has rich physical backgrounds. The studies which will be carried out in this project are the following: (1) The existence and multiplicity of positive solutions and Naimen's open problem in JDE. (2) The existence and multiplicity of radial sign-changing solutions on a ball. (3) The existence and multiplicity of sign-changing solutions on a general bounded domain. However, the basic ideas and methods to solve these problems are not been established in the literatures. Thus, we have a great challenge in these studies and we need to develop some new ideas and methods to deal with these problems. We believe that this project will not only develop the method in studying the Kirchhoff equations but also reveal more information about the Kirchhoff equations.

本项目拟综合运用变分方法、临界点理论以及伸缩变换技巧研究一类含临界Sobolev指数的Kirchhoff方程正解以及变号解的存在性和多重性。这类Kirchhoff方程不仅具有丰富的物理背景，而且也是目前国际上非线性分析研究领域中备受关注的研究热点。本项目拟在这类Kirchhoff方程上开展的具体研究内容如下：1.该方程正解的存在性和多重性及日本学者Naimen在JDE上提出的公开问题；2.该方程在球上径向对称变号解的存在性和多重性；3.该方程在一般有界区域上变号解的存在性和多重性。由于现有的文献中并没有关于研究这些问题的基本框架、思路和方法，因此我们需要对现有文献中的方法进行融合并融入一些新的想法和技巧。故本项目在研究内容上有较高的挑战性，在研究方法上则需要较大的创新。我们相信，本项目的研究可以推动现有的研究Kirchhoff方程方法和技巧的进步，加深人们对Kirchhoff方程的认识。

在本项目的资助下，围绕计划书的相关内容，我们紧跟国际前沿，在如下四个方面开展了研究：.1..含临界指数的Kirchhoff型方程变号解的存在性和多重性.2..含混合耦合项的稳态Bose–Einstein凝聚方程组的基态解的存在性.3..四维含临界指数的椭圆型方程组半经典解的存在性和集中性.4..非线性场量方程基态解能量的新单调性. 在研究含临界指数的Kirchhoff型方程变号解的存在性和多重性时，通过引入了一种构造辅助方程组的方法，我们构建了一个研究含临界指数的Kirchhoff型方程径向对称变号解的一般研究方法，从而证明了含临界指数的Kirchhoff型方程变号解的存在性和多重性。同时，我们也发现了多重耦合的方程组的(PS)序列的紧性具有迭代属性，这也给利用变分方法研究多重耦合的方程组正解的存在性提供了最基本的思路。. 在研究含混合耦合项的稳态Bose–Einstein凝聚方程组基态解的存在性时，我们在集中紧性原理的基础上系统性的发展了系数组合分块理论并引入了最优系数组合分块和最终系数组合分块两个全新的概念。利用上述理论和概念，我们给出了一个几乎最优的多重耦合情形下稳态Bose–Einstein凝聚方程组基态解的存在性结果。. 在研究四维含临界指数的椭圆型方程组半经典解的存在性和集中性时，通过引入一种构造辅助函数的方法并发现相位分离在解的集中性研究中的应用，我们证明了含临界指数的椭圆方程组半经典解存在性和集中性。我们同时也发展了研究含临界指数的椭圆方程组半经典解存在性和集中性的方法。. 在研究场量方程基态解能量的新单调性时，通过技巧性极高的利用Pohozaev恒等式等十分基本的结论，我们给出了场量方程正解能量关于非线性指数的一个全新的单调性结果。我们的结果揭示了非线性指数对场量方程正解能量的深刻影响。同时也在非线性分析领域引入了一个十分有意义的新的研究课题。. 我们的工作有助于提高人们对Kirchhoff型方程和稳态Bose–Einstein凝聚方程组的认识。