Weyl型代数的表示及其在李代数和量子群表示中的应用

The representation theory of Lie algebras and quantum groups have attracted extensive attention of many mathematicians and physicists. New important results on those algebras have well developed in recent few years. The main research topics of this project contain the followings: to construct holonomic modules and study the representation type of weight modules over Weyl algebras; to construct and classify irreducible modules over classical Lie algebras; to research the highest weight category of Uq(sln) and Uq(sp2n); to study the applications of Weyl algebras in Lie algebras and quantum groups. And we will establish the general methods and try to use them in other mathematical branches and physics areas.

李代数及相关量子群的表示被大量数学家及物理学家所关注，不断涌现出新的重要成果。本项目的主要研究内容包括：Weyl 型代数 holonomic 模的构造和权模范畴的表示型，经典李代数的单模构造和有条件地分类，量子群 Uq(sln) 和 Uq(sp2n) 的最高权范畴的表示型，以及 Weyl 型结合代数在李代数和量子群表示论中应用。我们的目标是解决表示论中的一两个历史遗留问题，并用李代数的研究方法来研究相关量子群的表示，同时发展新的研究方法。另外，我们将总结一般研究方法并探索其在其他数学及物理分支上的应用。

李代数和相关结合代数的表示是李理论的重要研究内容。本项目主要研究了Weyl代数的表示及其在李代数和量子代数表示中的应用。我们研究了量子薛定谔代数的BGG范畴，用量子Weyl代数的最高权模，证明了中心作用非零的子范畴等价于量子群Uq(sl2)的BGG范畴。研究了一类向量场李代数的一致有界不可约Jet模的分类，证明了这类模可以由gl2的单模和Weyl代数的权模作张量积得到。用Weyl代数和局部化的技巧给出了任意维薛定谔李代数的不可约Harish-Chandra模的分类。研究了Witt李代数Wn的U(h)有限生成单模的分类，证明这类模同构于Weyl模与gln模张量积的单子商，把这类模转化为Weyl代数的模。研究了Virasoro-like代数的Jet模分类，证明了这类单模同构于sl2的有限维单模与洛朗多项式的张量积。研究了Witt李代数的一般意义下的Shen-Larson模，我们给出了这类模不可约的充分必要条件，而且当可约时，完全刻画了其不可约子商。研究了扩张仿射李代数最高权模的局部化，给出了这类模不可约的充分必要条件。研究了sl(n+2)的由sl(n+1)的U(H)自由模诱导的广义Verma模的结构，给出了不可约的充分必要条件，构造了一类不可约的非权模。研究了sl3的张量积模的结构，构造了sl3的一类权空间无限维的单模，证明了这类模不是Gelfand-Tsetlin模。这一结果对于研究任意Gelfand-Tsetlin模的结构有着一定的理论意义。研究了辛oscillator李代数的权模范畴，当中心作用不为零时，证明了辛oscillator李代数的范畴O和辛李代数的范畴O是等价的，并且给出了辛oscillator李代数的不可约Harish-Chandra模的完整分类。这些成果丰富了李代数表示论的研究内容，发展了已有的研究方法，对李代数表示的进一步发展有一定的理论意义。论文发表在 Transformation groups, Journal of Algebra, Moscow Mathematical Journal, Communications in Algebra, Journal of Geometry and Physics等国际期刊上。