求解具有张量积结构系统的算法研究

Description of a lot of mathematical models in science, technology and engineering needs to use equations, especially differential equations of high dimension. How to solve numerically the problems of the high dimensions is one of challenges for large scale of scientific and engineering computation. This project studies mainly high performance algorithms for the systems with tensor product structure arising from discretization of some high dimension problems, especially focus in designs of preconditioners and parallel algorithms. In this project, we will do the following studies: Combining Tucker decomposition with PARAFAC decomposition to design preconditioned projection algorithms based on tensor form, especially the CG and its preconditioning technology；studying expressions of structures of tensors of low rank which are obtained by discretizating the high dimension problems from the view of numerical analysis and trying to give its error estimations;designing algorithms about tensor truncation from the view of numerical algebra and giving corresponding error estimations; try to design parallel algorithms based on tensor operations. Numerical experiments will be done to demonstrate efficiency of all new designed or improved algorithms involved in the project and verify correct of theoretic analysis.

科学、技术和工程中的许多数学模型都需要用高维方程、特别是高维的微分方程来描述。如何数值求解这些高维问题，是当今大规模科学与工程计算所遇到的挑战之一。本项目主要研究一些高维问题离散化所产生的具有张量积结构的系统的高效数值解法, 特别关注预处理子和并行算法的设计。在本项目中，我们将做如下的研究工作：将Tucker分解与PARAFAC分解相结合设计基于张量格式的预处理投影算法，特别是共轭梯度法（CG）及其预处理技巧；从数值分析的角度研究高维问题离散化后的低秩张量结构的表示，并尝试给出其误差估计；从数值代数的角度设计张量截断的算法，并给出误差估计；尝试设计基于张量运算的并行算法。在本项目中涉及的所有新设计、改进的算法都将用数值试验来检验其有效性及理论分析的正确性。

本项目已基本结束。四年来，我们按照项目的研究计划，针对具有应用背景的张量积（TP）结构的系统--Sylvester张量方程，设计了两个数值方法。对一些具有张量积结构的动态系统，从数值代数的角度设计了降低系统复杂性的张量截断算法，从而在高维问题离散后低秩张量结构的表示方面取得了一定的进展。我们利用张量分解，给出了多元齐次多项式有因式分解的充要条件。在预处理子及投影算法的设计方面，在矩阵的部分我们取得了一些进展，遗憾的是我们没能将这种设计推广到高阶张量。我们还开创性地研究了张量奇异值的计算方法。我们遇到的问题是：除了Sylvester张量方程，没能找到更多的具有应用背景的研究内容--高维问题离散化产生的具有张量积结构的系统--来进行我们的研究。. 在本项目执行期间，我们在国际、国内的著名学术刊物上发表了有关学术论文19篇, 其中包括SCI 索引的文章16篇。我们组织了5次中小型的学术会议，参加了10余次国际、国内会议。项目主持人应邀访问台湾（短期）一次，赴美国和同行进行合作科研两次。在人才培养方面，在本项目执行的四年期间，项目主持人招收了博士生7 名，硕士生6名。培养了获得博士学位的研究生7名(包括一名巴基斯坦留学生)，获得硕士学位研究生6名。 现有在读的博士生5人(包括一名在美国加州Berkeley联合培养的)，硕士生3人。