基于调和映射的非结构高阶网格生成与自适应及其应用研究

When applying high order numerical schemes to problems with complex geometries, the boundary errors caused by the approximation of piecewise linear mesh could degenerate the orders of the schemes. Such phenomenon brings great challenge to the accurate numerical simulations. In order to increase the approximation accuracy and the computational efficiency, we investigate efficient techniques for unstructured high order mesh generation and adaptive mesh-moving. Meanwhile, the proposed methods will be applied to computational fluid dynamics. The main content of this project includes:. 1. Develop theories and methods for unstructured high order mesh generation and adaptive mesh-moving based on harmonic maps. In order to ensure the quality of high order mesh elements and the stability of computations in mesh-moving, we study the element quality control, computation of mesh-moving vector, mesh updating algorithms, and etc. . 2. Investigate the applications of high order mesh and adaptive mesh-moving in computational fluid dynamics, especially in two-phase flow problems. Construct suitable monitor functions based on the properties of the solution and analyze the numerical convergence orders and computational efficiency of high order numerical schemes. . This project will not only further enrich and optimize the theories and numerical applications of high order mesh and adaptive moving mesh, but also reduce the obstacles in applying high order schemes to problems with complex boundaries, and provide efficient, robust and accurate numerical algorithms for computational fluid dynamics.

将高阶格式应用到复杂外形问题时，分片线性网格带来的边界误差经常会使格式发生降阶，给精确数值模拟带来极大挑战。为提高逼近精度和提升计算效率，本项目研究非结构高阶网格的高效生成和自适应移动技术及其应用。研究内容包括：. 1.基于调和映射，发展非结构高阶网格生成和自适应移动的理论和方法，包括单元质量控制、网格移动向量场计算、网格更新算法等，以保证高阶网格单元的质量以及网格移动过程中数值计算的稳定性。. 2.研究高阶网格和自适应移动网格在流体力学中的应用，根据解的性质构造合理的检测函数，分析高阶数值格式在高阶网格以及自适应网格上的数值收敛阶和计算效率。. 本项目的研究将进一步充实和完善高阶网格生成以及网格自适应的理论和数值应用，减少高阶数值方法在复杂边界问题中应用的障碍，进而为流体力学问题的研究提供更高效、更鲁棒、更精确的数值计算方法。

面向航空航天复杂流动模拟等国防工业领域的高性能计算仿真事关军队信息化条件下的打赢能力，现实意义重大，我国与欧美发达国家在该领域还有较大差距。美国NASA在《2030年CFD远景规划》中将“算法开发”及“自适应技术”列入未来六大重要研究领域，给予极大资助力度，由此可见算法开发和自适应技术重要性。鉴于此，项目采用自适应网格方法、保结构算法针对相场模型、非线性哈密尔顿系统和流体力学问题开展了高效、高精度格式的构造和理论分析研究，在数值实验中保证了长时间计算的稳定性和精度。主要成果包括：（1）拓展了自适应方法在两相流中的应用，针对发展了相场模型的移动网格自适应能量稳定算法和双曲守恒律的非结构网格保极值算法，显著提高计算可靠性。（2）建立了相场模型高阶无条件保持极值原理的算法框架，解决了相场方程是否存在此类方法的开放问题，论文引用进入ESI排名前1%。针对刚性问题，提出了显式大步长保不等式约束理论，克服了传统方法的三阶障碍（达到八阶）与时间延迟，精度提升一个量级。（3）将二次化思想与辛RK格式应用于非线性哈密尔顿系统，其后与松弛型方法相结合，率先建立了非线性哈密顿系统的显式质量守恒和能量守恒算法框架。（4）发展了对数非线性、分数阶问题的保结构方法及数值分析理论，给出了唯一性、稳定性、收敛性等理论结果。通过大量的数值实验，验证了算法的保结构性质与高阶精度。项目发展了自适应方法、保结构算法在相场模型、非线性哈密尔顿系统和流体力学问题中的应用，有效拓展了相关领域的研究水平，可为国防领域高效仿真提供理论支撑和数值算法库，达到了预期目标。依托项目资助，课题组发表SCI论文15篇，其中一作8篇，中国数学会T1顶刊3篇，SCI一区4篇，JCR Q1分区12篇；发明专利2项；培养博士研究生5名，硕士研究生3名；负责人获得国防科技大学青年创新奖，入选校高层次卓越青年人才和湖南省科技创新（荷尖）人才，完成了项目预定的技术指标。