多值非自治随机动力系统的渐近行为及其吸引子的Morse分解

Differential equations with non-Lipschitz nonlinearities arise naturally from control systems, survival theory, economic dynamics and ecology. With the development of applications, the asymptotic behaviour of multi-valued dynamical systems has become a frontier research topic, however there is little reference on nonautonomous random dynamical systems, even in the single-valued case. The project will intensively study the existence, regularity and measurability of pullback attractors for nonautonomous and stochastic parabolic equations with unbounded delays, nonclassical diffusion equations and wave equations with supercritical exponent and without uniqueness, and the upper semicontinuity of pullback attractors for multi-valued nonautonomous random dynamical systems with nonautonomous and stochastic perturbation or singular perturbation in the space with higher regularity. Morse decomposition theory of pullback attractors for gradient-like multi-valued nonautonomous and/or random dynamical systems, the upper semicontinuity of Morse sets and applications will be studied. In recent two years, the members of the project team gave the mathematical definition of the fractional substantial integral and analyzed its properties. Since the fractional substantial derivative is an important mathematical tool to describe functional distribution of the anomalous motion, this project will continuously study the global existence and long time behaviour of solutions for nonautonomous and stochastic first-order lattice systems and unbounded delay partial differential systems with fractional substantial derivative in the sense of mean-square convergence, and the numerical simulation also will be concerned.

非线性项不满足Lipschitz条件的微分方程在控制系统、生存理论、经济动力学和生态学中有很多应用，随着应用领域的不断拓展，多值动力系统的渐近行为成为重要前沿课题，而相应的非自治随机系统的研究工作还很鲜见。本项目将深入研究三类具有代表性的解不唯一的非自治随机无界时滞抛物型方程、非经典扩散方程、带有超临界Sobolev增长指数非线性项的波方程拉回吸引子的存在性、正则性和可测性，及非自治随机摄动和奇异摄动下更高正则性空间中吸引子的上半连续性。深入研究梯度类型的多值非自治和/或随机动力系统拉回吸引子的Morse分解理论，及参数摄动下Morse集的上半连续性和应用。近两年项目组成员给出了分数阶物质积分的数学定义、分析了其性质，它是描述反常运动泛函分布的数学工具，本项目还将继续研究均方收敛意义下带有分数阶物质导数的非自治随机一阶格点系统和无界时滞偏微分系统解的全局存在性与长时间行为，并进行数值模拟。

分形或分数阶导数建模越来越多地被应用到复杂现象的研究中，同时自然界中的很多过程的变化具有显著的记忆性。因此，分数阶导数的引入是刻画这些现象的自然选择。由于随机力是自然变化本身固有的属性，所以本项目深入研究了均方收敛意义下具有分数阶物质导数的非自治随机一阶格点系统和分数阶无界时滞偏微分系统解的全局存在性和均方拓扑下全局紧向前吸引集的存在性；进一步研究了加性时空白噪声驱动的随机时空分数阶波方程的Galerkin有限元方法，给出了在均方意义下模型误差和逼近误差的先验估计，并进行了数值实验以验证理论结果；而且研究了具有时间分数阶导数的Navier-Stokes时滞微分包含，利用分数阶预解算子理论和非紧性测度方法，证明了温和解的局部和全局存在性、衰退性以及正则性。对于多值动力系统的渐近行为，本项目深入研究了解不唯一的非自治随机无界时滞抛物型方程、非经典扩散方程、具有记忆性的时滞波方程拉回吸引子的存在性、正则性和可测性，及非自治随机摄动和奇异摄动下更高正则性空间中吸引子的上半连续性；进一步给出了多值梯度系统Morse分解存在的充分必要条件和多值梯度系统在摄动下的稳定性，以及Morse集在摄动下的上半连续性；特别地在不假设像空间局部紧的情形下，建立了多值非自治梯度系统的Morse分解理论。另外我们建立了抽象多值半动力系统指数吸引子理论，并应用抽象理论结果研究了时滞常微分方程、格点动力系统，以及具有无穷时滞的抛物型方程指数吸引子的存在性；进一步在建立随机变量序列在Lebesgue-Bochner空间中紧性准则的基础上，研究了具有非线性乘性噪声的耗散型随机微分方程和随机抛物型偏微分方程紧的均方随机吸引子的存在性；而且研究了非自治格点系统生成的多值过程的动力学行为，讨论了小时滞对多值非自治格点系统渐近行为的影响，建立了无限时滞格点系统的有限维逼近。