数论和代数在后量子时代通信中的一些应用

By using combinatorics (including design and graph theory), number theory (including algebraic number theory and the curves over finite fields) and algebra (including representation theory of finite groups), we deal with the following mathematical problems on post-quantum communication in network, big-data storage and cloud environment: (1). Properties and constructions of various basis and subsets in quantum state space used in quantum measure, including MUB, SIC-POVM, UPB, UMEB and indistinguishing maximally entangled stats by local operation and classical communication; (2). Constructing inhomogeneous and synchronizable quantum codes with good error-correcting abilities; (3). Constructing locally recoverable codes with good repairing and error-correcting abilities.

本课题利用组合学（组合设计与图论），数论（代数数论与有限域上的曲线），以及代数（有限群表示）的数学工具研究后量子通信时代，在网络通信、大数据存储和云计算环境下通信领域提出的下列数学问题：(1) 量子测量中采用的各种基和量子态集合的性质和构作方法，包括彼此无偏基（MUB），SIC-POVM，不可扩大单项基（UPB），不可扩大极大纠缠态基（UMEB），以及局部可区分的极大纠缠态集合；(2) 构作具有良好纠错性能的非齐性量子码和同步量子码；(3) 构作具有良好纠错和恢复能力的局部可恢复码（LRC）。

本项目运用组合学（组合设计和图论），数论（代数数论与有限域上的曲线）以及代数（有限群的特征理论和伽罗华环）为工具，研究后量子时代在量子通信和信息安全方面一些重要的研究课题。对于申请书所列三个研究课题，前两个课题（量子通信和量子纠错码）圆满完成并且在量子状态转移等方面的研究超出了预期结果。对于第三个课题（新型经典纠错码）研究了一些新型线性码的构作方式和纠错性能，但是对计划中的局部修复码没有开展工作，其原因是这期间国内有诸多研究群体作了很好的工作。而本课题申请人由于时间和精力所限未能进行这方面研究。另一方面，我们在申请书未列入的一些密码学问题（用于防骗密钥共享的外差族的构作，广义布尔函数的构作和刻划方式）做了深入的研究。总体而言，这些研究成果充分使用了组合、数论和代数工具，所得结果优于前人，执行情况是满意的。