偏作用与交叉积

Partial group action is a powerful tool in the study of C*-algebras generated by partial isometries on a Hilbert space. During the study of partial group action, crossed product is one of the most important objects, which has many significant applications in many fields. With the deepening of the research, the introductions of the concepts of partial Hopf action, partial Hopf group action and the corresponding crossed products inject new vitality into the theory of partial actions. This program will devote to the following contents: (1) semisimplicity, separability and Frobenius properties of partial crossed products over partial groupoid actions; (2) enveloping action of partial crossed products, Morita equivalent and partial representation over partial Hopf actions; (3) the equivalences of partial group-crossed products, the relationship between cleft extensions and Galois extensions over partial Hopf group actions. The contents not only enrich the theory of cross products of partial actions but also provide new ideas for the theory of partial actions.

偏群作用是研究Hilbert空间部分等距生成的C*代数的一个强有力的工具, 交叉积是偏群作用中的重要研究对象，在许多领域都有重要应用。随着研究的深入，偏Hopf作用、偏Hopf群作用以及与之对应的交叉积相继出现，为偏作用的研究注入了新的活力。本项目的主要研究内容有：（1）偏群胚作用上偏交叉积的半单性、可分性以及Frobenius性质；（2）偏Hopf作用上偏交叉积的包络作用、Morita等价及其表示；（3）偏Hopf群作用上偏群交叉积的等价关系、可裂扩张与Galois扩张之间的关系。这些内容的研究既丰富了偏作用的交叉积理论，又为偏作用理论提供了新的研究思路。

本项目以群理论和Hopf 代数结构理论为主要研究工具，研究偏作用与交叉积等理论方面的前沿问题，推广了代数理论中的一些经典结果。 利用偏Hopf群(余)作用的概念，引入偏Doi-Hopf 群模和偏正规化积分的概念，并且讨论了其与偏全积分的关系，进一步研究了偏Doi-Hopf 群模范畴的可分性，作为应用，给出了偏Doi-Hopf 群模的Maschke型定理； 利用偏Hopf作用的性质研究偏交叉积的包络作用、Morita等价及其表示；研究偏Hopf群作用上偏群交叉积的等价关系、可裂扩张与Galois扩张之间的关系；研究偏群胚作用上偏交叉积的半单性、可分性以及Frobenius性质。