微结构固体的不同尺度建模及孤立波存在与稳定性研究

The project aims to establish the wave propagation some new models in microstructured solids at different scales, and to study the existence and stability of solitary waves in these microstructured solids which are described by we established models, and to provide a theoretical basis for the nondestructive testing and evaluation of microstructured solids using solitary waves. First, according to the single-scale and multi-scale modeling ideas which newly proposed by Engelbrecht, and selecting different forms of free energy (strain energy) functions which reflect different internal structures of microstructured solids, we will establish some new one-dimensional and two-dimensional nonlinear models (equations), which describe the wave propagation in microstructured solids. Second, using qualitative analysis method and bifurcation theory of dynamical systems, we will study can the existence of solitary wave in those microstructured solids which are described by above established models, and give conditions for the existence of solitary waves. Using efficient numerical methods and the technique that add a small perturbation to initial wave, we will numerical study can stable propagation of solitary wave in those microstructured solids, and give conditions for the stable propagation of solitary waves.The study of this project will answer what kind of microstructured solids can existence solitary waves, can stable propagation of solitary wave, and what are the existence and stably propagation conditions of solitary waves.

本项目旨在从不同尺度上建立微结构固体中波传播的几种新模型，并研究这些模型描述的微结构固体中孤立波的存在性与稳定性问题，为利用孤立波对微结构固体进行无损检测与评价提供理论基础。首先，根据Engelbrecht等最新提出的对微结构固体的单尺度与多尺度建模思想，选取反映微结构固体不同内部结构特征的不同形式的自由能（应变能）函数，建立微结构固体中波传播的几种新的一维和二维非线性模型（方程）。其次，采用动力系统的定性分析方法与分支理论，研究我们所建立的模型描述的那些微结构固体中能否存在孤立波并给出孤立波的存在条件。用有效的数值方法和在初始波形上加小扰动的模拟技术，研究微结构固体中孤立波能否稳定传播并给出稳定传播条件。本项目研究将回答什么样的微结构固体中存在孤立波，孤立波能否稳定传播，孤立波的存在及稳定传播条件是什么等问题。

任何材料都有一定的微结构，因而存在某个或某些内特征长度。当我们研究的物理量的特征尺度远大于材料的内特征长度时，经典连续介质力学的基本假设是有效的，给出的结果与实验结果相符。但当物理量的特征尺度接近材料的内特征长度时，将会出现一些特殊的物理现象，这些现象不能用经典连续介质理论来满意地解释，需要用广义连续统场论来解释。本项目主要研究了带有微结构的弹性固体中孤立波的存在与稳定传播问题。首先，针对Engelbrecht等人的研究工作不足，修正弹性固体的自由能函数，并根据Mindlin微结构弹性理论，建立了微结构固体中波传播的单尺度、多尺度一维非线性波模型和单尺度简化的二维非线性波模型。其二，利用动力系统的定性分析方法与分支理论，分析与这些波模型等效的动力系统并证明了在不同条件下不同性质的微结构固体中可以存在钟型孤立波、非对称钟型孤立波、扭结孤立波、准孤立尖波、孤立尖波以及紧孤立波等不同特性的孤立波，并给出了具体的存在条件。这些结果大大推广了Engelbrecht等给出的微结构固体中只存在非对称钟型孤立波的已有结论。其三，采取在初始波形上加小扰动的模拟技术并利用积分因子方法，数值考察了孤立波的动力学稳定性并得出微结构固体中传播的孤立波的动力学稳定性不是很强，只有受到幅度和宽度都非常小的小扰动下，微结构固体中传播的孤立波才能显现出一定的动力学稳定性。最后，研究了在非均匀圆柱壳中孤立波传播的动力学稳定性问题并得出在幅度和宽度都足够小的小扰动下孤立波可具有较强的抗干扰性和动力学稳定性。固体材料中稳定传播的孤立波对固体材料的无损检测与评价具有重要的应用价值。因为孤立波在固体材料中传播时，能够携带材料内部的结构信息，通过测量孤立波的幅度、速度等信息我们可以了解固体材料的内部结构特性。