磁流体动力学方程组的非线性不稳定性与Hopf分支

In this project, we are devoted to study the nonlinear instability, Hopf bifurcation and exchange stability of Magnetohydrodynamics equations.. Magnetohydrodynamics equations (MHD) is a kind of parital differential equations which decribes the relationship between the motion of conducting flows and magnetic fields. It is composed by the Navier-Stokes equations coupled with Maxwell equations. Due to the importance and complexity of MHD, it is still an active research subject in Mathematics and Physics until now. As we know, the nonlinear instability phenomenon exists in MHD, for example, the turbulence of MHD. But there is no rigorous proof on it. Expecially, the Hopf bifurcation. This project will study the nonlinear instability and Hopf bifurcation for MHD by using dynamical methods. Therefore, our research will make people more familiar with MHD by giving the proofs for the nonlinear instability and Hopf bifurcation of MHD.

本项目以磁流体动力学方程组为研究对象，致力于研究其非线性不稳定性，Hopf 分支理论以及交换稳定性。 . 磁流体动力学方程组是研究运动的导电流体和磁场相互作用中各物理量间变化关系的偏微分方程组。它主要由流体力学中的Navier-Stokes方程与电动力学中Maxwell方程组耦合而成。由于其重要性与复杂性，直至今日依然是数学物理领域中非常活跃的研究课题之一。不稳定性现象存在于磁流体方程组中，例如，磁流体中湍流的产生。但目前为止还没有严格的理论证明，特别对非线性不稳定性所可能引起的Hopf分支现象。本项目计划应用动力系统的方法来分析研究磁流体动力学方程组的非线性不稳定性以及Hopf分支现象。因此，我们的研究将会为人们深入理解和认识不可压磁流体动力学方程组的非线性不稳定性提供一定的理论依据。

磁流体动力学方程组是研究运动的导电流体和磁场相互作用中各物理量间变化关系的偏微分方程组。它主要由流体力学中的Navier-Stokes方程与电动力学中Maxwell方程组耦合而成。由于其重要性与复杂性，直至今日依然是数学物理领域中非常活跃的研究课题之一。本项目计划应用动力系统的方法和偏微分方程方法来分析研究一类磁流体动力学方程组的解的存在性, 非线性不稳定性以及Hopf分支现象。首先我们得到了可压缩磁流体方程组的弱强唯一性和一类一般化的不可压磁流体方程组的弱解存在性；然后我们得到了稳态可压缩磁流体方程组的弱解存在性以及可压缩铁磁流方程组的周期弱解存在性；最后我们得到了不可压缩磁流体方程组的稳定性与hopf分支现象。.通过我们的研究将会为人们深入理解和认识磁流体动力学方程组的非线性稳定性提供一定的理论依据，进而深刻理解物理领域的湍流等现象提供了一些参考。