高维函数数值计算中的格点设计算法的研究

This project will combine spectral methods and quasi-Monte Carlo methods to numerically solve high-dimensional problems. Nowadays, one usually needs to develop high-dimensional nonperiodic mathematical models to describe phenomena with high complexity. However, there still lacks satisfactory numerical methods to deal with those models. The lattice design, which is now a research focus of quasi-Monte Carlo methods, is proved theoretically and practically to be a very effective approach to compute numerically integrals of high-dimensional periodic functions. We here propose to use lattice designs to develop new criteria of good lattice points, producing low discrepancy sample points used in spectral algorithms. In the project, lattice algorithms to compute approximations of high dimensional non-periodic functions will be developed. Error analysis, tractability and strong tractability of the algorithms will be studied. Besides of having high accuracy, the algorithms developed based on lattice designs are also expected to be fast because the structure of lattice designs allows the application of fast Fourier (cosine) transform, which can save a lot of computation time. The study on high-dimensional nonperiodic functions will enrich theories of lattice designs and spectral methods and provide fast and effective numerical tools for high-dimensional nonperiodic functions.

本项目将结合格点方法和谱方法来研究高维函数、尤其是非周期高维函数的数值计算问题。现实生活中存在大量的复杂系统，对这些系统的研究常需借助于数值处理高维非周期函数来实现。尽管如此，目前仍没有处理高维非周期函数的成熟算法。格点设计作为一种常用的准蒙特卡洛方法，已被证实可有效打破高维周期函数的数值积分计算中的维数诅咒。在该项目中，我们将建立新的格点设计标准，并依据该标准产生低差异样本点，利用谱方法的思想，构造高维非周期函数的数值逼近的格点算法。在此基础上借鉴谱方法的思想及已有格点理论，对算法的误差估计、可处理性和强可处理性进行讨论。相较其它方法，格点算法具有高精度的特性，尤其适合处理高维函数，而且其良好的结构特点将使得快速算法成为可能，从而节省大量计算时间。该项目的研究将丰富和完善准蒙特卡洛方法和谱方法的理论，并为处理高维非周期函数提供高效、快速的计算工具。

现实生活中存在大量的复杂系统，人们常常用偏微分方程或高维非周期函数对这些系统进行近似。求解或描绘这些系统因此最终往往需借助数值的方法。本项目主要研究内容是利用谱方法和格点方法来研究微分方程以及非周期高维函数的数值计算问题。.谱方法的基本思想是通过将问题的解展开成某种基函数的级数（系数未知），并取有限项来近似问题的解。将该谱近似展开式代入到方程，可以得到未知系数的方程，求解该方程就可以得到解的近似式。谱方法是一种高精度的数值方法，若方程的真解无限可微，谱方法所求近似解具有“无穷阶收敛性”，因此在物理、流体力学、空气学和海洋科学等领域得到了快速推广和广泛应用。.在该项目中我们着重研究了Fisher方程、广义空间分数阶Burgers方程以及分数阶积分微分方程的Jacobi谱配置点算法，证明了Jacobi谱配置点算法求解Fisher方程的数值稳定性，简化分数阶微分矩阵的推导公式，分别推导了求解Fisher方程以及分数阶积分微分方程的Jacobi谱配置点算法的误差估计结果，证实了谱配置算法具有方程解光滑性越高，误差越小的特性，并通过数值实例验证了Jacobi谱配置点算法高精度的特性。.对高维函数进行数值计算，如果仍使用常规的按照张量积生成的网格点来作为的数值计算的样本点通常会产生维数诅咒现象。而格点设计作为一种常用的准蒙特卡洛方法，已被证实适合处理高维周期函数的数值求解问题。.在该项目中，我们借鉴谱方法的思想及已有格点理论，对高维非周期函数的数值积分算法以及数值逼近算法进行了误差估计，并对数值逼近算法可处理性和强可处理性进行讨论，证实了格点对高维非周期函数也能破除高维问题的维数诅咒。同时,利用秩1格点自身结构的特点，我们还推导出了数值逼近算法快速算法格式。