非对称随机矩阵的谱半径

The spectral radius of a matrix is the largest absolute value of its eigenvalues, which is an important quantity in the matrix theory, also becomes an interesting object to be studied in the random matrix theory. This project is devoted to study the asymptotic properties of spectral radii of asymmetric random matrices based on the theory of orthogonal polynomials and Fredholm determinants. The following two problems will be mainly concerned:. (1) The spectral radii of elliptic ensembles and truncated orthogonal matrices. The eigenvalue distributions of these matrix ensembles are not of the rotational invariant property which is the core in the investigating of the spectral radii of the complex Ginibre matrices. Thus, different methods should be involved to take the advantage of the property that their eigenvalues form a determinantal or Pfaffian point process.. (2) The spectral radii of random matrices with independent entries. The spectral radius of a random matrix is closely related to the local statistical properties near the boundary of the n-point correlation functions of its eigenvalues. It is possible to prove the universal property of the limiting distribution of spectral radius by studying the asymptotics of the point correlation functions.. The goal of this project is to explore universalities in random matrix theory through the study of two specific ensembles firstly, and then to prove the universal property of limiting distribution of spectral radius under some moment conditions.

矩阵的谱半径，即矩阵特征根模的最大值，是矩阵理论中的一个重要量，自然也是随机矩阵研究中值得关注的研究对象。本项目将利用正交多项式与Fredholm行列式理论来研究非对称随机矩阵谱半径分布的渐近性质，拟研究以下两个方面的问题：. （1）椭圆系综以及截断正交矩阵谱半径。与复Ginibre矩阵不同，这两类随机矩阵特征根的分布不再具有旋转不变性，故而需要引入与之不同的方法并充分利用特征根构成行列式点过程或Pfaffian点过程这个特性。. （2）独立元随机矩阵的谱半径。随机矩阵谱半径的分布与其特征根的n-点关联函数在边界附近的局部统计性质密切相关。通过对后者做渐近分析有望证明谱半径极限分布的普适性。. 本项目首先通过对两类特殊系综谱半径的研究来探索随机矩阵理论中的普适性，随后在一定的矩条件下证明谱半径极限分布的普适性。

矩阵的特征根与奇异值是矩阵理论中的重要量，也是随机矩阵研究中最核心的研究对象之一。当矩阵维数趋于无穷时特征值或奇异值宏观（整体）和微观 ( 局部 ) 统计性质的描述是随机矩阵理论的核心问题。本项目主要就以下几方面问题进行了研究并取得了进展。（1）实椭圆系综及实球系综的谱半径的极限分布，丰富了随机矩阵理论中关于谱半径极限分布的内容。（2）独立复Ginibre矩阵乘积的奇异值的局部统计性质的刻画，即 n-点关联函数的尺度极限，发现了在乘积矩阵个数M与矩阵的阶N的比值M/N从0变化到无穷时最大奇异值的渐近分布从Tracy-Widom律变化为了正态分布。（3）独立复Ginibre矩阵乘积与截断酉矩阵乘积的特征根的局部统计性质的刻画，与奇异值的情形类似，n-点关联函数的尺度极限也依赖于比值M/N。（4）独立实Ginibre矩阵乘积与截断正交矩阵乘积的实特征根的局部统计性质的刻画及实特征根个数的渐近分布。这三个研究内容探索了经典随机矩阵极限定理与动力系统的联系。（5）随机synaptic矩阵的特征多项式的矩。（6）带突刺的复椭圆系综的奇异值的局部统计性质的刻画，得到了与复Wishart矩阵类似的BBP相变现象。