随机材料波动方程多尺度分析与算法研究

The wave propagation in random medium arises in many science and technology fields which involves medicine, geology, environmental science. It is challenging to design numerical methods for the wave propagation in random medium. On the basis of the applicant's current research achievements, this project is to study the multiscale analysis and numerical method with high accuracy for the wave equation in random material and to write associated computing program. The main research content includes (1) study the multiscale asymptotic expansion methods with high order and its associated mathematical theory for the wave equation in random material, (2) study the associated the finite element methods for the multiscale asymptotic expansion method and analyze convergence of the numerical solution, (3) chose symplectic difference schemes which match the chosen finite element method and analyze its precision and conservative property. The target of this project is to develop an effective multiscale algorithms for the wave propagation in random medium and present theoretical and computational methods's support for analysis of the wave propagation in random medium.

随机介质波传播问题出现在医学、地质学、环境科学等很多科学工程领域，其数值方法设计具有挑战性。本项目拟在申请者现有研究成果的基础上，针对随机材料波动方程开展多尺度分析及高精度数值计算方法研究，并编写相应的多尺度计算程序。主要研究内容包括（1）研究随机材料波动方程高阶多尺度渐近展开方法及其数学理论；（2）针对多尺度渐近展开方法研究相应的有限元算法，分析数值解的收敛性；（3）针对有限元半离散系统，选取与所选有限元方法相匹配的辛差分格式，分析其精度和算法的守恒性。本项目的目标是针对随机材料波传播问题提供一种行之有效的多尺度计算方法，为随机介质波传播分析提供理论和计算方法支持。

本项目对复合材料波动方程的多尺度分析和有限元辛几何算法及其实现进行了系统深入的研究。主要包括：(1) 利用Bourgeat随机介质周期近似思想，给出了均匀化系数和随机均匀化系数的误差估计及周期近似的均匀化波动方程解和随机均匀化波动方程解之间的估计。(2) 对于随机系数波动方程构造了辅助函数，给出了一阶多尺度展开式及其显式误差估计，研究了随机波动方程一阶多尺度展开解及其周期近似方程的一阶多尺度展开解之间的估计。(3)对于系数随机扰动比较大的情形给出了修正的Neumann展开方法及其收敛结果，利用随机系数Karhunen-Loéve展开法给出了随机波动方程的另外一种展开方法及其误差估计，并讨论了其经典多尺度展开和收敛性。课题研究相关结论不但可以作为随机介质波传播的理论分析，还促进了计算数学、应用数学等核心数学理论和物理学科的交叉发展，提高了随机系数波动方程的计算速度和精度、节省了计算量。.本项目发表期刊论文11篇，指导研究生6人,其中2人已顺利毕业。项目执行期间，多次访问中国科学院计算数学与科学工程计算研究所，讨论多尺度有限元分析在随机材料波动方程问题中的研究现状和进展情况，与中国科学院计算数学与科学工程计算研究所、许昌学院、韩国庆尚大学等建立了长期的合作关系。