几何与分析中的半经典谱问题

In this project we shall study the relations between the spectra of the Laplace/Schrodinger operators and the background geometric/analytic properties..1. For compact Riemannian manifolds, study the relations between the Laplacian spectra and the background geometry, e.g. (1) Extend the classical result of K.Uhlenbeck on generic properties of the Lalpacian spectra to Riemannian manifolds admitting nice group actions; (2) For manifolds with boundary, study the spectral invariants of the Robin Laplacian and the inverse problem. .2. For a given Riemannian manifold, study the relations between the Schrodinger spectra and the potential functions, e.g. (1) For Riemannian manifolds with Lie group actions, study the asymptotic invariants of the equivariaint spectrum, and prove inverse results for manifolds with large symmetry, e.g. toric manifolds; (2) Study properties like isospectral compactness for Schrodinger type operators on Euclidean space. .3. Study the higher order remainder term of the spectral counting function via the lattice point problem.

本项目旨在研究Laplace算子以及Schrodinger算子的特征值分布同其背景流形的几何与分析性质之间的关系。.1. 对于紧Riemann流形，研究Laplace算子的谱与其背景几何之间的关系，比如（1）将Uhlenbeck关于Laplace算子谱通有性质的经典结果推广到带有群作用的情形；（2）对于带Robin边界条件的带边流形，研究谱不变量与逆谱问题。.2. 对于给定Riemann流形，研究Schrodinger算子的谱与势函数之间的关系，比如（1）在具有群作用的流形上研究等变谱的渐近谱不变量，并进而对toric流形等具有较大对称性的流形研究等变逆谱问题；（2）对于欧式空间，研究Schrodinger型算子的等谱紧致性等问题。.3. 通过特殊区域的格点问题研究谱计数函数的高阶余项公式。

在本项目中，我们主要研究几何与分析中常见的Laplace型算子（包括Laplace算子，Schrodinger算子，DtN算子，Toeplitz算子等）的特征值分布同其背景流形的几何与分析性质之间的关系。对于Riemann流形Laplace算子，我们研究了等谱问题，得到了四维流形在共形类中等谱紧的新判据。对于带有对称性的Riemann流形，我们还研究了等变谱等谱问题，并将现有的构造等谱Riemann流形的方法拓展成构造等变谱等谱的方法。在Shrodinger算子谱方面，我们通过引入辛几何的工具，计算了等变谱的半经典渐进展开不变量，并进一步深入研究了环状流形等变谱逆问题。我们还进而研究了拟凸区域边界上的Toeplitz算子的等变谱及其逆问题。在格点计数和Laplace算子谱计数函数方面，我们主要研究了平面圆形区域以及环形区域特征值跟格点计数的关系，得到了该区域二项Weyl渐进的最佳余项估计。此外我们还深入研究了由谱问题延伸出来的一些格点问题。在Dirichlet-to-Neumann算子谱方面，我们计算了Shrodinger型DtN算子的热核展开并应用于研究逆问题。我们还首次将DtN算子引入离散图并得到了第一特征值的估计。此外，我们还在半经典分析的框架下定义了相空间迷向子流形上的迷向态，定义并研究了其象征演算及其应用，为接下来进一步研究Hermite算子理论做准备。