具有多时滞及随机扰动的广义生物经济系统的分岔与控制

Bifurcation phenomenon not only widely exists in some practical projects, but also the occurrence of bifurcation can cause a series of ruinous dynamics, such as jumping and lag. In this project, firstly, we will consider food chain, food wed and complex network structure among populations, multiple different time delays existed simultaneously in population and improved algebraic equation constructed by revenue and human cost in order to construct singular biological economic system with multiple time delays and multiple populations. Then, we will study the existence of bifurcation and the properties of bifurcation by taking delay or economic profit as bifurcation parameter, and design the corresponding controller to eliminate or adjust and control bifurcation. Next, taking some parameters, like the profit, as an indicator, we will investigate the optimal control of system. Lastly, we will set up singular biological economic system with stochastic disturbance by considering some important parameters affected by random perturbation or model affected by stochastic noise, and study its dynamical behavior, such as stochastic stability, stochastic bifurcation and the corresponding control and so on. By this research, we will develop theories and methods of applied mathematics, promote academic progress on singular system, and provide scientific and reasonable reference frame for maintaining ecological balance, regulating economic system, exploiting and managing resource .

分岔现象不仅普遍存在于一些实际工程中,而且分岔的发生会导致跳跃、滞后等一系列破坏性的动力学行为。本项目首先考虑种群之间为食物链、食物网及复杂网络结构,多个不同的时滞同时存在及以税收、人力成本等构建的新型代数方程,建立具有多时滞多种群广义生物经济系统模型。其次，以时滞、经济利益等为分岔参数，研究分岔的存在性及分岔的性质，并设计相应的控制器来消除或调控分岔。再者，以收获利润等参数为指标，研究系统的最优控制。最后，考虑系统或重要参数受随机扰动，建立随机广义生物经济系统模型，并研究系统的随机稳定性、随机分岔及分岔控制等动力学行为。通过本研究，发展应用数学的理论与方法，推动学科进步，为维护生态平衡、调控经济系统、开发与管理资源提供决策科学的参考依据。

广义生物经济模型是指用微分方程和代数方程联合描述生物资源开发规律的模型。由于生物系统分岔的发生会带来很多负面影响,比如极短时间内种群数量的激增对环境造成巨大的破坏。分岔及其控制作为非线性科学中的前沿研究课题，极具挑战性。本项目首先考虑非线性收获、税收等因素，建立了具有两个时滞、B-D函数及非线性收获捕食者的广义生物经济系统模型、具有税收及非线性鱼类收获的时滞广义生物经济系统模型、具有模糊参数、保护区域及收获广义浮游植物-浮游动物经济系统模型等并研究分岔与控制、最优控制。其次，疾病对种群以及生态系统的影响不可忽视，建立了具有食饵收获及染病传染时滞的捕食-食饵系统模型、捕食者及顶端捕食者均具有传染病的食物链模型、具有Allee效应和线性收获的时滞浮游植物-浮游动物系统模型、具有恐惧效应、群居效应和易感食饵有病的时滞食饵-捕食者模型等并研究分岔与控制。接着，外来物种的入侵、种群的扩散等因素不可忽视，建立了具有Holling IV和收获的时滞营养液—浮游生物扩散模型、具有群居效应和Allee效应时滞捕食者—食饵生物扩散模型、媒体影响的反应扩散模型等并研究Hopf分岔与控制、斑图。进一步地，将生物经济系统中的出生率、经济收益等参数加入随机干扰，建立了随机广义生物经济系统模型并得到了一些关于分岔与控制方面的结果。建立了具有饱和发生率和部分免疫的随机SIRS传染病模型等并研究传染病灭绝与稳态分布。最后，考虑复发、部分免疫、媒体影响等因素建立了具有媒体影响的SEIS传染病模型、时滞的重度酗酒模型、具有年龄结构且部分免疫的酗酒模型、具有公共健康教育的多种群SEAR模型等并研究分岔问题。本项目从生物经济系统方面建模、分析与仿真所获得的结果，发展应用数学的理论与方法，为维护生态平衡、资源开发与管理提供科学的、合理的重要参考依据。