非对称狄氏型，无穷区间上的倒向随机微分方程和具有奇异系数的半线性二阶椭圆方程的混合边值问题

We aim to use Dirichlet forms and backward stochastic differential equations (BSDEs) with infinite time herizon to solve a mixed boundar value problem for a class of second order elleptic operators with singular coefficients. To this end, we need to obtain the existence and uniqueness of solutions of backward stochastic differential equations on infinite herizon with singular coefficients and study reflected diffusion processes associated with non-symmetric Dirichlet forms. The study of mixed boundary value problems is fundamental in the theory of partial differential equations. BSDEs is one of the very active research areas in probability. It has wide applications in areas like mathematical finance, optimal control and partial differential equations. The BSDEs involved in our propposal have singular coefficients and infinite time herizon. It study is of independent interest. The theory of Dirichlet forms will also play an important role because of the singularity of the coefficents. We hope to use the above mentioned important tools to solve our mixed boundary value problem.

我们将用狄士型和倒向随机微分方程为工具，研究具有奇异系数的二阶半线性椭圆方程的混合边值问题。为此，我们需要得到一类具有奇异系数的在无穷时间区间上的倒向随机微分方程的解的存在唯一性，和建立非对称狄士型对应的反射扩散过程的可加泛函的随机分析。二阶椭圆偏微分方程的混合边值问题是方程研究中重要的研究课题，具有非常重要的理论意义。倒向随机微分方程如今是非常热门的研究领域之一，它在金融数学，随机控制，边值问题等领域有广泛的应用。而我们研究中所需要的一类在无穷时间的倒向随机微分方程的研究本身也具有独立的理论意义。由于系数的奇异性，我们所涉及的过程不再是半鞅，而是一类与非对称狄士型相联系的扩散过程，因此狄士型理论在我们的研究中也会起到重要作用。我们希望利用上述概率论中两个重要工具最终解决边值问题。

本项目主要研究具有奇异系数的二阶椭圆方程的边值问题，尤其是混合边值问题。为此我们研究一类具有奇异系数的在无穷时间区间上的倒向随机微分方程的存在唯一性。这些问题是偏微分方程和随机分析中的基本研究课题，而在金融数学，随机控制等领域有着良好的应用前景。围绕着以上主线，本项目也对相关问题进行了扩展研究，取得了丰硕成果。共发表高质量论文19篇。具体来说，研究内容与结果包含在以下几个方面：.1.用概率方法，通过解一类无限时间区间上的具有奇异系数的倒向随机微分方程，得到了具有奇异系数的半线性二阶椭圆方程的混合边值问题的存在唯一性。这些是偏微分方程，随机微分方程领域中的理论基本问题。我们首次在系数极其奇异的情况下，给出了解决。 .2.我们用概率方法证明了具有测度值系数的二阶椭圆方程的狄利克雷问题的解的存在唯一性，并给出了解的概率表示。为此，我们研究了具有奇异漂移项的布朗运动的杀死过程的热核的连续性，这些也具有独立的意义。这是文献中首次解决漂移项为测度的二阶椭圆方程的边值问题。.3.我们通过建立关于可加泛函的拉普拉斯变换精细的上界估计，得到了以测度值为漂移项系数的布朗运动的Varadhan类型的小时间渐进行为，这是随机分析领域的重要研究课题。.4.我们证明了由时空白噪声驱动的随机热方程的解的分布在赋极大范数的连续函数空间上满足二次传输不等式。为此，我们建立了对时空白噪声的随机卷积的新的矩估计，这计本身也具有独立意义，可以应用于随机偏微分方程的其它问题。.5.我们证明由Brownian运动驱动的随机Navier-Stokes方程的解可以由泊松随机测度驱动的随机Navier-Stokes方程的解来逼近。Navier-Stokes方程是流体力学中公认的一个很重要的模型，考虑这种逼近问题的一个出发点是纯跳噪声驱动的随机Navier-Stokes的数值模拟。 .6.我们得到了由一般Levy噪声驱动的随机二阶流体方程的概率意义下的强解的整体存在性和唯一性，及其非适应初值问题解的存在唯一性。上诉研究填补了文献中关于这方面研究的空白。