奇异椭圆方程解的适定性和正则性及相关研究

In the nature, many physical phenomena, chemical laws and life evolution can be described by partial differential equations. Because the elliptic equation is the limit equation of the evolution equation, it is very helpful to study the elliptic equation for solving the large-time behavior of the evolution equation. However, in practical problems, the classical elliptic equation is often not able to accurately describe: for example, in chemical experiments, the distribution of density of a substance is not found in some places, but it will be very dense in some places, and even some places only appear at one point. This phenomenon will be more appropriate to describe by degenerate (singular) elliptic equation. This project intends to study several kinds of Singular Elliptic Equations and their related problems. Its main contents include: 1) the existence, uniqueness and regularity of solutions of singular elliptic equations; 2) the well-posedness of degenerate non-local operator equations; 3) the probability representation of solutions of elliptic equations.

在自然界中，很多物理现象、化学规律、生命演化均可以由偏微分方程来描述。由于椭圆方程是发展方程的极限方程，因此研究椭圆型方程对于解决发展方程的大时间行为有很大的帮助。但，在实际问题中，经典的椭圆方程往往不能够精确的描述：比如，在化学试验中，某种物质密度的分布，有些地方没有，有些地方又会密度很大，甚至有些地方只出现在一个点上，此种现象用退化(奇异)的椭圆方程来描述将会更贴切。本项目拟研究几类奇异椭圆方程及其相关问题，其主要内容包括：1) 奇异椭圆方程解的存在唯一性和正则性；2) 退化非局部算子方程的适定性；3) 椭圆方程解的概率表示。

在自然界中，很多物理现象、化学规律、生命演化均可以由偏微分方程来描述。由于椭圆方程是发展方程的极限方程，因此研究椭圆型方程对于解决发展方程的大时间行为有很大的帮助。但，在实际问题中，经典的椭圆方程往往不能够精确的描述：比如，在化学试验中，某种物质密度的分布，有些地方没有，有些地方又会密度很大，甚至有些地方只出现在一个点上，此种现象用退化(奇异)的椭圆方程来描述将会更贴切。本项目研究了几类奇异椭圆方程及其相关问题，其主要内容包括：1) 奇异椭圆方程解的适定性和正则性；2) 退化非局部算子方程的适定性；3) 椭圆方程解的概率表示。..通过利用泛函分析理论、随机分析技巧，结合热核估计，得到了几类奇异椭圆方程(组)解的存在唯一性、不存在性和正则性。此外，发展了Gronwall不等式，并利用此结果解决了分数阶随机微分方程解的唯一性问题。已发表论文5篇，此项目的结果丰富了偏微分方程理论。