具有奇特性质非线性波的数学理论研究

The study of nonlinear waves with special or unusual properties is an important aspect of mathematical physics, fluid mechanics and related fields. We will study some exact solutions modelling extreme or rogue waves, resonant waves and periodic wave by using integrable theories.Based on studies of particular examples, we will explore and develop mathematical theories for these special types of wave. One task of our project is to explore whether other nonlinear model equations exhibit rogue waves by analyzing the maximum amplitude of nonlinear interaction of solitons. This will also help us to understand the relationship between rogue waves and solitons. Besides, we will also study rogue waves related to Bose - Einstein condensation problem.. Another part of our project is concerned with integrable systems having pfaffian solutions. This type of solution is in contrast with the much more common situation that multi-soliton solutions are expressed in terms of determinants. We conjecture that such systems will exhibit line soliton solutions, which make up the web-structure associated with resonant interaction..The third part of our project is concerned with periodic waves. Hirota conjectured that nonlinear evolution equations possessing N-soliton solutions also have N-periodic solutions. Up to now, the scientific literature has been mainly concerned with 1- or 2- periodic wave solutions, so it would be interesting to study 3- (or higher) periodic wave solutions to nonlinear evolution equations. Since it is difficult at the moment to prove Hirota's conjecture directly, we will design a numerical algorithm for finding a 3-periodic wave, which can help to test the conjecture. It is hoped that such testing will give insight into how a proof might eventually be achieved.

关于具有奇特性质非线性波的研究，一直是数学物理、流体力学等领域的重要研究内容。我们将应用可积系统理论重点研究怪波、共振波和周期波。希望通过具体问题的研究，探索发展非线性波解的孤立子数学理论。我们将应用可积系统理论研究特殊孤立子非线性作用时的极大振幅，探索怪波与孤立波之间的关系，以及其它支持怪波的非线性模型，研究玻色-爱因斯坦凝聚试验中的怪波问题。目前，可积系统孤立子τ-函数一般由行列式或pfaff式表示，相对于行列式而言，pfaff式更具一般性。我们将研究具有pfaff式解可积系统的线孤立子解及其非线性作用，重点研究共振作用和网状结构。关于非线性发展方程的周期波解，Hirota猜想具有N-孤立子解的孤子方程也有N-周期波解。由于目前很难直接证明这一猜想，我们将应用可积数值算法，设计3-周期波解的数值解法，检验Hirota的猜想，探索证明该猜想的方法。

我们主要围绕离散可积系统、玻色-爱因斯坦凝聚体系统（Bose–Einstein condensates）和一些重要数学物理方程的精确解等问题展开研究工作。取得的主要成果有以下几点..1）关于离散KP方程族及其约化系统。得到离散KP方程族系统的m-约化方法。该方法在Miwa变换下恰为Hirota给出的连续KP方程族的m-约化方法。应用我们给出的关于离散KP方程族的m-约化方法，可以有效的得到新的离散方程，同时还有助于研究方程精确解的代数结构。 .2）关于玻色-爱因斯坦凝聚体系统。分别研究了具有周期势的自旋为1的玻色-爱因斯坦凝聚体系统、抛物势作用下具有空间局域非线性的二维原子-分子玻色-爱因斯坦凝聚系统和时空调制非线性的具有两体和三体相互作用的一维玻色-爱因斯坦凝聚系统。通过研究这些系统的精确解及其稳定性分析，得到具有物理意义的成果。这些研究结果为认识新的物质态，发现原子-分子玻色-爱因斯坦凝聚系统新的量子现象提供了实验方案和技术手段，对物理学、信息科学的基础研究有重要的科学意义，也对许多高科技领域如芯片技术、精密测量、原子钟、量子计算、纳米技术等都有很好的应用前景。.3）关于一些重要数学物理方程精确解的研究。分别研究了广义Hirota方程，广义混合非线性薛定谔方程和耦合非线性薛定谔方程组的精确怪波解及其他有理形式的解。分别分析了多怪波解和呼吸子解的动力学性质，发现了新奇的非线性奇异波现象。 通过研究这些解的调制不稳定性质，探索怪波的产生机理。.此外还研究了广义Hirota-Satsuma型耦合KdV方程、带特殊形式首迫项KdV方程、非等谱广义Sawada–Kotera方程等一些重要数学物理方程相关的可积性质和精确解。