大雷诺数不可压缩流动问题的变分多尺度方法研究

High Reynolds number problem is one of the hot topics in numerical methods for the incompressible flows. Direct Numerical Simulation(DNS） usually requires very fine computational meshes, and it's still a big challenge for solving incompressible flows even in the highly-developed computer science nowadays. ..Variational Multiscale methods(VMS) regard the standard finite element space as the resolved scales space, and its appropriate projection space as the large scales space, then simulate the influence of the unresolved small scales to the resolved small scales through some formulations based on the resolved small scales. Then, we only need to solve approximate model using an appropriate computational mesh, instead of some rigorous mesh required by DNS...By Gauss integrations method and constructing projection basis functions, we improve VMS and simplify the construction of the large scales space, introduce no or less additional variables, increase the efficiency of VMS. Meanwhile, combining with adaptive techniques，we will give local and parallel adaptive methods for VMS, which can control the large scales space and local artificial energy dissipation, reduce the computational scale and increase the accuracy of VMS. Finally, separating the construction of the large scales space and the simulation of the N-S equations, we will give the projection formulation of VMS, which mainly uses the previously-.developed source code, reduces the workload, and improve the efficiency of VMS.

大雷诺数问题是求解不可压缩流动问题的一个重大课题。直接数值模拟求解时, 往往要求计算网格尺度足够小。即使在计算机技术高度发展的今天,直接数值模拟求解大雷诺数问题仍然是一个非常大的挑战。.变分多尺度方法把标准有限元空间当作可解析尺度空间,将它投影到一个适当的空间看作大尺度空间,通过构造一个依赖可解析小尺度的模型,来模拟不可解析小尺度对可解析小尺度的作用，从而只需在适当的网格下求解逼近模型，减少了直接数值模拟对计算网格的苛刻要求。.我们利用高斯积分方法和投影基函数的构造，改进变分多尺度方法，简化大尺度空间的构造，不引进或少引进额外变量，来提高计算效率。结合自适应方法，构造变分多尺度方法的局部并行自适应算法，调控大尺度空间和局部人工能量耗散，降低计算规模，提高算法精度。我们将大尺度空间的构造与N-S方程数值模拟过程分离，构造变分多尺度方法的投影形式，利用现成的程序，减少工作量，提高算法效率。

随着计算机的性能不断提高，大雷诺数的不可压缩流动问题的数值求解逐渐成为当前计算数学界和工程界的前沿研究热点之一。 本项目根据大雷诺数问题的特性，不引进额外变量，构造变分多尺度方法的投影形式，充分利用现成的程序和软件，提高算法效率。利用并行技术，将大规模问题降解为一系列小规模的子问题，结合单位分解技巧，设计一套子区域分解框架，将全区域划分为若干重叠子区域，在子区域或其延拓区域上并行求解一系列残量子问题，以此设计能够高效求解的可扩展并行算法，从而为难以求解但又有着重要工程应用的大雷诺数问题提供有效的算法及其理论支持。..本项目实施期间，我们利用高斯积分方法和投影格式的构造，改进了变分多尺度方法，简化了大尺度空间的构造，在不引进或少引进额外变量的前提下，提高了计算效率。并且，我们广泛研究了基于单位分解的局部并行算法，构造了变分多尺度方法的局部并行算法，调控大尺度空间和局部人工能量耗散，降低计算规模，提高算法精度。最终将大尺度空间的构造与N-S方程数值模拟过程分离，构造变分多尺度方法的投影形式，利用现成的程序，大大减少了工作量，并提高了算法的效率。此外，针对更具物理意义的Beavers-Joseph界面条件，本项目给出了非定常Stokes-Darcy模型的解耦算法，引入的稳定因子保证了解的强制性，并得到了算法的稳定性和收敛性估计。作为后续的研究，我们计划在本项目提出和研究的方法基础上，研究非定常的复杂流动问题（如Stokes-Darcy、流流耦合等问题）的界面条件、解耦算法、时间推进的局部并行算法等，这些将有助于寻找更准确的刻画实际复杂流体的数学模型，以及发展可大规模高效求解的计算方法和软件系统。