多尺度非局部模型的理论分析和高效数值方法

Nonlocal effects are ubiquitous in physical systems. The nonlocal effect is the long-range correlation of the macroscopic physical variables after the reduction of the microscopic variables. The mathematical model based on nonlocal effect is called nonlocal model. With the improvement of computational simulation ability, more and more attention has been paid to the study of complex cross-scale singularities, which makes the application of nonlocal models more and more. The aim of this project is to study the asymptotic compatible (AC) numerical schemes and their corresponding numerical methods for multiscale nonlocal models with engineering applications such as peridynamics, nonlocal elliptic equation, convection diffusion equation and wave equation and so on. For the problem on unbounded spatial domains, we consider to design their accurate artificial boundary conditions based on the technique of domain decomposition and artificial boundary methods, and develop the corresponding numerical schemes and algorithms, specially the fast algorithm to significantly reduce the computational cost and storage. The successful implementation of this project will improve the applications of nonlocal models in the sciences and engineerings, and provide the corresponding theory and algorithm.

非局部效应在物理系统中是普遍存在的。非局部效应是指宏观物理量经由微观变量约化之后产生的长程关联关系。而基于非局部效应建立起来的数学物理模型则称为非局部模型。随着计算模拟能力的提高，在复杂跨尺度奇性现象方面的研究越来越受到重视,使得非局部模型的应用越来越多，例如在材料和力学建模方面有很多尝试。本项目旨在系统地研究几个有工程应用背景的多尺度非局部模型的渐近相容数值格式及相应的数值求解方法。我们考虑的方程包括毗域动力学方程和非局部椭圆方程、对流扩散方法、波动方程等。对于无界域上的模型，我将基于区域分解的思想，采用人工边界方法，来设计其精确的人工边界条件，并发展相应快速求解的数值方法，尤其是发展快速算法来减少计算量和存储量。本项目的成功实施将为推动多尺度非局部模型在科学与工程技术领域中的深入应用提供算法支撑和理论依据。

非局部效应在物理系统中是普遍存在的。非局部效应是指宏观物理量经由微观变量约化之 后产生的长程关联关系。而基于非局部效应建立起来的数学物理模型则称为非局部模型。随着计算模拟能力的提高，在复杂跨尺度奇性现象方面的研究越来越受到重视，使得非局部模型的应用越来越多，例如在材料和力学建模方面有很多尝试。本项目旨在系统地研究几个有工程应用背景的多尺度非局部模型的渐近相容数值格式及相应的数值求解方法。 针对一类在工程中应用中出现的典型非局部模型，研究了解的正则性、建立了非局部算子的极值原理，对多尺度非局部模型设计具有渐近兼容的数值格式；对于无界区域上的问题，基于区域分解的思想和人工边界方法，设计DtD和DtN类型的、准确的人工边界条件，并建立了相应的数值格式的稳定性和收敛性分析；对于时间分数阶模型，发展了离散的Gronwall不等式，提出了误差卷积结构的概念来表示截断误差和快速算法。本项目为推动多尺度非局部模型和时间分数阶方程在科学与工程技术领域中的深入应用提供高性能算法支撑和理论依据。