基于Lyapunov指数计算的低维线性切换系统稳定性研究

Lyapunov exponent indicates the asymptotic behavior of the state-transition of a dynamical system. In lower dimensions (including two dimension and three dimension), according to the typical ways to define the laws driving switching signals to evolve (arbitrary switching in discrete-time, Markov switching and stabilizing switching in continuous-time), we are devoted to compute the respective Lyapunov exponents constructively. Specifically, for the stability analysis of planar switching systems in discrete-time, we derive estimation on the Lyapunov exponent via bounding the associated joint spectral radius. And, for planar Markov switching systems in continuous-time, the Lyapunov exponent is precisely expressed by means of the invariant probability distribution induced from projecting the state-trajectory onto the unit circle on the plane. As for the stabilizing switching control in lower-dimensions, we shall reveal the one-to-one correspondence between the Lyapunov exponent and the geometric structure of switching control. And then the task left to us is to search for such a switching law that minimizes the Lyapunov exponent...In our research, we are devoted to the beautiful theory that characterizes the effect of switching on stability by means of Lyapunov exponent. The accomplishment of our research object would help for us in gaining a deep insight into the mechanism of switching to influence dynamical performance.

Lyapunov指数刻划了动力系统状态转移过程的渐近性质。在低维情形下（二维及三维），针对驱动切换信号演化的几种典型方式（离散时间任意切换、连续时间Markov切换及镇定切换），我们致力于赋予相应Lyapunov指数以构造性的计算方式。对于二维离散时间切换系统的稳定性分析，通过建立矩阵族联合谱半径的上界给出Lyapunov指数的可行估计。对于二维连续时间Markov切换系统，通过研究状态轨迹投影在单位圆上所诱导的不变测度来准确计算Lyapunov指数。对于连续时间的低维切换系统镇定问题，我们通过揭示Lyapunov指数与切换控制几何结构之间的内在联系将其归结为构造切换控制以使Lyapunov指数极小化的问题。..本项申请以Lyapunov指数为桥梁呈现切换与系统稳定性之间丰富而有趣的联系；因此，其成功实施将有助于我们深入认识切换影响系统动力学行为的机制。

围绕切换系统稳定性问题，我们深入研究了其Lyapunov指数计算问题。我们用以计算Lyapunov指数的方法包括：利用系统本身所蕴含的不变测度及概率极限理论、刻画子系统之间的相互作用以反映切换信号统计性质对系统动力学行为的影响。在此基础上，我们在以下几个方面所取得的成果将有助于加深对于切换系统稳定性机理的认识。..1) 用Poisson点过程与Wiener过程分别描述实际中常见的参数跳变与环境噪声，深入分析了这两类随机过程对于系统动力学行为的共同影响，给出了这类系统在几乎必然意义下保持稳定的条件。..2) 对于二阶离散时间切换系统，我们考虑一个更为本质的概念，即矩阵族的联合谱半径。我们的结果说明：在很多情况下矩阵族的联合谱半径等于其单个矩阵的最大谱半径；若非如此，则联合谱半径同时还取决于单个矩阵之间在结构上的差异程度。..3) 对于一般的连续时间Markov切换系统，我们利用系统的不变测度的概念证明了子系统对于整个系统动力学行为的贡献只取决于其在有限时间区间内的动态过程。事实上，我们所关心的有限区间长度恰好等于子系统驻留时间的数学期望。这一结果提供了新的观点以理解切换系统动力学行为。..4) 我们深入研究了一类二阶Markov切换系统。我们的结果表明，刻画子系统之间的相互作用是理解切换系统稳定性机制的关键因素。事实上，子系统之间的相互作用可能产生完全不同于各个子系统的动力学行为；同时，刻画这种相互作用可以自然地将Markov链的统计性质移植于Lyapunov指数的计算。..5) 通过研究二阶周期切换系统的稳定性问题，我们对于子系统的相互作用过程有了更为深入的理解。特别是，我们观察到这种相互作用非常依赖于子系统矩阵生成的Lie代数的结构。我们构造的一个例子表明两个不稳定子系统分别作用相当长时间后仍可能生成一个稳定的动态响应。由此说明，切换系统动力学行为背后仍然有很多复杂的问题有待我们去研究。