多值拓扑中对偶结构的非对称性研究

This project investigates of the relationship between the logic structure of the truth value set and the properties of many valued spaces. By the analysis of some conclusions in literatures, in quantale-valued setting, topology and co-topology have asymmetry in some properties. It is not the same as the classical case. In this project we are going to study the basic space properties and categery properties in order to find more differences of dual structures in many valued setting. The results will lead to establishing a basic point of view that the dual structures have asymmetry in lattice-valued topology theory. Furthermore, we will discuss the relationship of concrete properties between dual structures based on dual truth value sets, and try to establish a basic principle about many pairs of dual structures in lattice-valued topology theory to discribe the inner relations of their general properties. The expected results will provide basic methods for the generalization and application of the relevant theories.

本项目致力于探讨多值逻辑真值表的逻辑结构与多值空间结构性质之间的内在联系。通过现有结论的对比发现，以quantale为值格的多值环境下的拓扑结构和余拓扑结构在某些性质上呈现非对称性，这与经典情形下二者是等价的数学概念不同。在本项目中，我们拟从基本空间性质和范畴性质等方面深入探讨多值对偶结构在性质上的差异，以确立对偶结构具有非对称性是格值拓扑学的一个普遍的基本特征。进一步通过考察对偶真值表上对偶多值结构的在具体性质上的关系，尝试建立关于格值拓扑学所关注的多对对偶结构的基本原理以刻画它们在一般性质上的内在联系。预期结果将为相关理论的推广和应用提供基础性的方法。

格值拓扑学作为经典拓扑学的推广进行研究取得了丰硕的成果，与多值逻辑相结合又赋予了其新的生命力。研究表明多值逻辑真值表的逻辑结构与多值拓扑空间的性质有着密切的联系。基于这样一个背景本项目展开研究。通过引入有限值空间的概念，刻画了弱满层 L-(余)拓扑空间范畴和强 L-(余)拓扑空间范畴中有限空间的反射包，得到结论：当 L 是带有 Lukasiewicz 三角模或乘积三角模的单位区间，有限值的强 L-拓扑空间范畴是有限空间在强 L-拓扑空间范畴的反射包；对于 L 是带有任意连续三角模的单位区间，有限值的强 L-余拓扑空间范畴是有限空间在强 L-余拓扑空间范畴的反射包。说明多值拓扑结构不只是经典拓扑结构的简单推广，它在很多性质的表现上与经典情形有明显差别，多值情形下的拓扑结构和余拓扑结构不再等价，它们在很多性质的表现上呈现非对称性，真值表的结构可以影响多值拓扑空间的性质，反之多值拓扑空间的性质也可以反映真值表的结构。通过引入有限生成的 L-fuzzy 拓扑空间的概念，刻画了 L-fuzzy 拓扑空间范畴中有限空间的余反射包，说明了经典意义下等价的数学概念（如 Alexandroff 空间和有限生成空间）在多值意义下可以不再等价并具有各自独立的含义，这是多值拓扑学有别于经典拓扑学的一个基本特征。借助于直觉模糊集中非隶属度的概念，建立了以余 quantale 为真值表的多值拓扑空间、预序集等数学概念，并通过性质的研究说明了在以余 quantale 为真值表的多值环境下，余拓扑结构也较拓扑结构具有更好的性质表现。通过归纳总结给出了基于对偶真值表 quantale 和余 quantale 的对偶结构关于对应性质的一般规律。借助 T-滤子引入了 T-收敛空间的概念，并通过研究相关的范畴性质，建立了当 L 是完备的 MV-代数时强 L-拓扑空间与 T-收敛空间的稳定联系。