焦点规划的理论与算法研究

Different from the stochastic programming approaches based on expected utility theory such as chance-constrained programming and two-stage stochastic programming, focus programming determines the optimal solutions according to their focus (the most salient realization of random vector) and so it provides a fundamental alternative for dealing with stochastic optimization problems. Focus programming models are bilevel programming problems with maximin-type upper and lower level programs and they are much more difficult to solve than general mathematical programming problems. In this project, we concentrate on the following issues related to this new optimization problem: 1) Some theoretical properties such as the existence of optimal solutions, optimality conditions, constraint qualifications, calmness conditions will be investigated. 2) Some efficient numerical algorithms will be developed to solve the model and comprehensive convergence analysis will be carried out as well. Furthermore, numerical experiments will be given to examine their effectiveness. 3) Applications such as supply-chain management, portfolio selection, production planning and assembly problems will be considered.

不同于基于期望效用理论的随机规划方法(机会约束规划、两阶段随机规划等)，焦点规划基于决策者对焦点(随机向量最显著的实现)的偏好来制定最优决策，这为随机优化问题的处理提供了一种新选择。焦点规划模型为特殊的双层规划问题，其上下两层均为极大极小型非光滑优化问题。与一般的数学规划问题相比，双层规划问题的求解要困难得多。本项目拟研究这一新课题，主要内容包括：1)对焦点规划模型展开详细的理论研究，包括最优解的存在性、最优性条件、约束规范、以及平稳性条件等。2)为焦点规划模型开发有效的数值算法，进行相应的收敛性分析，并利用数值实验检验算法的有效性。3)应用焦点规划解决某些实际问题，包括供应链管理问题、投资组合选择问题、生产计划与装配问题等。

运筹与管理中遇到的许多决策问题往往受随机因素的影响，该类问题可以被定式化为随机优化模型。然而，现实中的决策制定往往是一次的或单阶段的，即无法被大量重复执行，因此以期望值最优为决策准则似乎理由不够充分。不同于基于期望值的随机规划方法（机会约束规划、两阶段随机规划等），焦点规划基于决策者对焦点（随机向量最显著的实现）的偏好来制定最优决策，这为随机优化问题的处理提供了一种新工具。焦点规划模型为一类特殊的双层规划问题，其上下两层均为极大极小型非光滑优化问题。本项目重点研究这一课题，主要研究内容包括：1）对焦点规划模型展开详细的理论研究，包括最优解的存在性、最优性条件、约束规范、以及平稳性条件等。2）为焦点规划模型开发有效的数值算法，并进行相应的收敛性分析，同时利用数值仿真检验提出的算法的有效性。3）应用焦点规划解决某些实际问题，包括报童与库存优化问题、供应链管理决策问题等。针对上述研究内容，本项目已经取得了若干重要成果。1）焦点规划为一类特殊的双层规划，与一般的单层优化问题相比，双层规划的求解要困难得多。本项目借助再定式技巧和非光滑一阶最优性条件，将焦点规划模型再定式为退化约束数学规划问题，该结果首次建立了双层规划与退化约束数学规划问题的联系。（2）本项目利用对偶原理将双层规划转化为一类全新的单层优化模型，这类模型相较于传统的单层均衡优化模型而言，结构简单无需引入难处理的互补乘子，从而可以提高模型的求解效率。（3）本项目研究了焦点规划在报童问题以及供应链管理中的应用，重点分析了决策者的决策偏好对最优选择的影响，取得了若干具有管理学启示的应用成果。