两类非线性偏微分方程多峰解的存在性及性态研究

With the development of geometric analysis and applied science, nonlinear partial differential equations are of great importance both in theory and in applications. Our proposal is to study two types of equations. The first one focuses on the multi-bump solutions for a nonlinear elliptic equation with critical exponent, we will study the local uniqueness and non-degeneracy of eventual multi-bump solutions, based on which we will try to construct new type of peak solutions. The second problem is a quasi-linear equation derived from the plasma physics。Under suitable conditions on the potential, we hope to prove the existence of peak solutions, and understand their asymptotic behavior. For these two typical problems in nonlinear PDEs, we hope to propose some new ideas.

随着几何分析及应用科学的发展，非线性偏微分方程无论在理论上还是在实际应用中都有着非常重要的意义。本项目关注其中的两个问题。第一个问题是考虑一类带临界指标的椭圆型方程的多峰解, 研究它们的局部唯一性与非退化性，并在此基础上构造新类型的多峰解。第二个问题是来源于等离子物理学中的拟线性方程。在不同的位势函数条件下，考虑利用 Lyapunov-Schmidt 约化方法，我们希望得到多峰解，并且研究解的渐近形态，进一步研究这些解是否具有局部唯一性以及对称性。 我们希望对这两类典型的问题的研究提出新的方法和思路。

几何分析和应用科学的发展带来了大量的非线性椭圆型偏微分方程及方程组。这些方程和方程组的研究一直是近二十年来的研究热点。本项目关注一类非线性椭圆方程和方程组波峰解的局部唯一性和非退化性，并在此基础上构造其他形式的多峰解，研究这类方程对应的波峰解及其渐近性态。这两个问题都是非线性椭圆方程研究中的典型问题，我们希望对这类典型问题的研究提出新的方法。