新型差分均匀函数设计及其相关序列和编码研究

Due to their good difference uniformity, zero-difference-balanced functions and near-perfect nonlinear functions have important applications in cryptography and coding theory. For example, they can be used to obtain pseudorandom sequences with optimal correlation and error-correcting codes with optimal parameters. The main objective of this project is to give a well-rounded treatment of these two types of functions with applications in sequence design and coding theory based on the theory of finite fields, exponential sums, combinatorial design, and interleaving technique. To achieve this goal, we will first study the properties and constructions for infinite families of zero-difference-balanced functions and near-perfect nonlinear functions with new parameters. Secondly, we will apply these new proposed functions to construct sequences with optimal correlation and large linear span. Finally, we will employ these functions to obtain linear codes and cyclic codes whose parameters are optimal in the sense they meet some bounds. Research on these subjects has both important theoretical significance and application value.

因其优良的差分均匀性，零差分平衡函数和准完全非线性函数在密码和编码中具有重要的应用，可用来构造具有最优相关性的伪随机序列和具有最优参数的纠错码。本项目拟基于有限域、指数和、组合设计、交织技术等理论和工具，对零差分平衡函数和准完全非线性函数的设计及其在序列和编码中的应用展开深入研究：1.研究与设计新型零差分平衡函数和准完全非线性函数，特别是具有新参数的无穷类；2.研究基于新型差分均匀函数的伪随机序列，重点研究兼具最优相关性和大线性复杂度的伪随机序列；3.研究基于新型差分均匀函数的线性码和循环码，尤其是具有最优参数的线性码和循环码。这些课题的研究具有重要的理论意义和应用价值。

因其优良的差分均匀性，零差分平衡函数和准完全非线性函数在编码和密码中具有重要的应用，可以用来构造具有最优相关性的伪随机序列和具有最优参数的纠错码，它们与差集、半域等数学结构具有深刻的联系。因此，对这两类函数及其相关序列编码研究具有重要的理论意义和应用价值。.本项目对零差分平衡函数和准完全非线性函数及其在序列和编码中的应用展开深入研究，取得的代表性成果有：1）基于代数、数论和组合工具，构造了多类新型差平衡函数和高非线性函数，率先构造了具有任意代数次数的旋转对称Bent函数和一类能够从数学上严格证明具有良好快代数免疫度的一阶弹性布尔函数，完全确定了奇特征有限域上Kasami幂函数的差分谱；2） 利用新型差平衡函数和高非线性函数设计了多类具有优异性能的序列集，包括第一类同时兼具正交性、理想自相关特性和最优互相关特性的序列集和一类入选下一代WIFI国际标准的优相关低PAPR序列；3）利用新型差平衡函数和高非线性函数构造了达到或接近理论界的线性码、循环码、最小码和局部可修复码，基于指数和理论，完全确定了一些编码的重量分布，其中构造的最小码可用于设计秘密共享方案；4）针对同步/异步混合通信系统，提出了强最优零碰撞去跳频序列新概念，推导了相关理论界，基于交织技术和高非线性函数，构造了达到理论界的强最优零碰撞区跳频序列。.本项目共发表期刊论文25篇、国际会议论文1篇、其中包括通信和信号处理权威期刊IEEE TIT 8篇、IEEE TSP 2篇、IEEE TCOM 3篇、中国科学1篇、申请发明专利3项；依托相关研究成果，获教育部自然科学二等奖一项（项目负责人排名第一，公示完毕）；培养国家青年拔尖人才1名、教育部/装备部联合青年人才1名、1人晋升为教授、1人晋升教授、2人晋升副教授、培养博士后1人、硕/博研究生10人。.本项目取得的密码函数和序列编码相关研究成果可用于密码、通信和雷达等领域。