大稀疏鞍点问题的快速迭代算法研究

鞍点问题具有极其广泛的应用背景，如何有效地求解这类问题一直成为计算数学界的研究热点。本项目主要研究大型稀疏鞍点问题的快速迭代算法。具体内容包括: 构建新的迭代算法,特别是奇异鞍点问题的超松弛迭代算法；定义新的范数，从范数的角度对新迭代算法的收敛性及最优参数进行深入研究; 设计新的预条件子, 其重点在于研究物理型和矩阵型两类预条件子, 并拟从最小多项式和值域的角度对这两类预条件子作细致的理论分析; 针对鞍点系统的特殊性，给出Krylov子空间新的构建方法及相应Krylov子空间方法的新的理论结果; 分析新算法的稳定性与敏感性。本项目旨在促进鞍点问题最新方法的研究, 为更有效地求解鞍点问题提供更多更好的方法与理论。本项目的开展也能促进迭代法的进一步发展, 充实和完善迭代算法的理论。因此本项目的立项无论对工程和科学计算还是对计算数学本身的发展都有非常重要的理论和实际意义。

本项目着眼于研究流体力学中的Navier-Stokes方程和偏微分方程边值问题的求解，所获得的研究结果包括三方面内容：（1）构建了新的迭代算法；（2）设计了新的预条件子；（3）给出了鞍点系统的稳定性和敏感性分析。.在第一方面，基于系数矩阵的分裂迭代，给出了松弛迭代方法。特别是构建了针对奇异问题的最优迭代算法。.在第二方面，从不同的角度，分别设计了两类可以将非对称或不定系统转换为对称正定系统的预条件子。特别是研究了不同预条件子间的关联性，给出了高效预处理的可行策略。.在第三方面，依据鞍点矩阵特有的结构，利用新的策略，给出了鞍点系统的稳定性和敏感性分析。