一类二元格微分方程的动力学行为

The program concerns with the dynamical behaviors of a kind of lattice differential equations with two components, which corresponds to the saddle-focus type ordinary differential equations. There mainly contains four parts:.1.The characters of the lattice differential operator. The main tool is applying the spectrum analysis method and the theory of semigroups of operators to consider the stability of the stationary states and the existence of semigroups of the solutions and so on. .2.The existence of non-monotone traveling wave solutions, its minimal speed and the phenomenon of propagation failure. The main tool is applying the fixed point theory and oscillation theory of differential equations to consider the existence of non-monotone traveling wave solutions, and applying the Hopf bifurcation theory to construct the invariant sets in the neighbor of equilibria to study the propagation failure phenomenon..3.The existence of the entire solutions and their characters. The main thought is to construct the entire solutions by the non-monotone traveling wave solutions and the spatially independent solution..4.Define the asymptotic spreading speed for a lattice SIR model according to the realistic meaning and consider its relations with the parameters of the model and the minimal speed. .The reaction term of the lattice differential equations considered here is non-monotone. Based on the existed results, the researches suggest some new questions and supply new methods, which deepen our understanding of the dynamical behaviors of lattice differential equations.

项目研究一类对应于鞍点-焦点系统的二元格微分方程的动力学行为。主要有四个内容：.1.格微分算子的性质。主要工具为应用泛函分析中的谱分析方法和算子半群理论，研究平衡态的稳定性及解半群的存在性等问题。.2.行波解尤其是非单调行波解的存在性及最小波速问题、以及传播失败现象。主要工具为应用不动点理论和微分方程振动性理论考虑其非单调行波解的存在性，以及应用Hopf分支理论构造平衡态附近的不变集来研究其传播失败现象。.3.整体解的存在性及其定性性质。主要思想为通过非单调行波解和空间不依赖解构造整体解并研究这些整体解的定性性质。.4.针对二元格传染病模型的现实意义给出渐近播速的定义，并考虑渐近播速与模型参数和最小波速的关系。.项目所研究方程具有非单调反应项，研究内容在格微分方程已有结论的基础上，提出新课题并尝试新方法，深化人们对格微分方程动力学行为的理解。

项目主要考虑格鞍点-焦点微分系统的动力学行为，得到如下三个方面的研究结果：.1.格微分方程的抽象化。内容包括格鞍点-焦点系统无穷多平衡态的存在性和格微分算子的谱分析。首先考虑具双线性发生率的SIR模型，其为鞍点-焦点系统的典型例子。通过应用抽象空间中的隐函数定理，得到当扩散系数较小时，此格微分模型存在无穷多平衡态，并估计出此扩散系数的一个上界。结果对研究格微分系统行波解的存在性具有重要意义。其次通过泛函分析中的谱分析方法，得到格微分算子在实l^p（1<=p<=∞）空间中谱的分布和分类，说明格微分算子当p等于∞和p不等于无穷时谱的分类是不同的。结果为研究格微分方程平衡态的稳定性和解半群的存在性等问题提供理论基础。.2.具气候变化的Lotka–Volterra合作种群系统行波解的存在性及其渐近行为。在经典的Lotka–Volterra合作种群系统的基础上考虑了气候变化，首先建立一类具气候变化的扩散Lotka–Volterra合作种群模型。其次通过构造恰当的上下解，应用单调迭代技巧证明了该模型行波解的存在性，并分析了其行波解的渐近性态。结果提供了考虑气候变化下合作种群动力学行为的理论分析，并为考虑对应的格微分系统行波解的存在性及其渐近行为提供对比的例。.3.格微分系统的Hopf分支和Turing失稳现象。最近，关于反应扩散系统的Hopf分支和Turing失稳现象的研究已有众多文献，而相应的格微分模型的结论较少。以具Degn-Harrison反应的格微分模型为例，得到其Hopf分支和Turing失稳的发生条件，结果提供岛屿环境下微生物连续性培养的动力学理论分析。同时考虑两类具扩散的传染病模型平衡态的稳定性分析。分别考虑具扩散的饱和发生率和双线性发生率的SIR模型，证明当基本再生数大于1时，相应的平衡态不会发生Turing失稳现象，结果为研究格SIR模型的Turing失稳现象提供对比的例。