带有疾病的随机种群模型动力学行为的研究

Diseases can be an important factor in regulating population sizes, and more attention has been paid to the population systems with disease. However, population systems are often subject to environmental noise in the ecosystem. Therefore, it is important to discover how much the presence of such noise affects the results of deterministic population system with disease. In this research, we will investigate the properties of stochastic population system with disease, including stochastic predator-prey system, stochastic competitive system, etc. Utilizing Lyapunov’s method, the theory of stationary distribution of Khasminskii, Markov semigroup theory, periodic solutions in distribution and numerical simulation, we will discuss the existence and uniqueness of the positive solution, persistence, the existence of stationary distribution, ergodicity and the existence of periodic solution in distribution and so on. Based on the above analysis, we want to reveal the effect of white noise to the population system with disease and offer the theory support for predicting the change of population.

疾病是影响种群数量的重要因素之一，带有疾病的种群系统受到学者们的广泛关注。但在实际的生态系统中，随机干扰无处不在，对种群产生一定的影响，用确定性模型来描述种群行为存在一定的局限性。因此，研究带有疾病的种群系统在环境白噪声的影响下相对于确定性系统会产生怎样的变化就显得尤为重要。本项目拟研究受白噪声干扰下的具疾病的随机种群模型，包括具疾病的随机捕食-食饵模型、竞争种群模型等，研究上述模型正解的存在唯一性、持久性、平稳分布的存在性、遍历性以及分布意义周期解的存在性等。利用Lyapunov分析的方法、Has'minskii的平稳分布理论、Markov半群理论及分布意义下的周期解理论，结合数值模拟分析白噪声对具有疾病的种群系统的影响，更好地揭示现实世界中生态系统的发展规律。

本项目研究了种群及流行病系统在环境白噪声的影响下的动力学行为。主要包括了带有疾病的随机捕食-食饵模型、具有功能反应项的随机捕食-食饵模型与随机多群体的AIDS模型等，利用Lyapunov分析的方法、Khasminskii的平稳分布理论、周期解理论等为工具,对上述模型的性质进行了研究，得到如下结论：.（1）对于具有饱和发生率的多种群AIDS模型，通过构造合适的Lyapunov函数，得到了系统均值意义下的持久性及平稳分布存在的充分条件。.（2）对于捕食-食饵系统，得到了自治系统的平稳分布条件；对于非自治的具有周期系数的系统，证明了分布意义下周期解的存在性。.（3）具有随机扰动的自治Gilpin-Ayala竞争模型的动力学分析，获得了全局正解的存在唯一性定理及解的p阶矩有界性。同时，还获得了该模型存在稳定分布的充分必要条件及物种的灭绝条件。.（4）研究了某类随机Navier-Stokes方程的周期运行性质，得到了该方程在分布意义下的周期解的存在唯一性。.（5）对于由分数阶布朗运动驱使的平均场随机微分方程，研究了具有Hurst参数的方程当系数满足某些条件时在分布意义下的几乎自守解的存在唯一性。.（6）对于具有疾病的随机捕食-食饵系统，通过建立随机Lyapunov函数的方法，得到了遍历的平稳分布存在的条件，同时也得到了感染的食饵灭绝的条件。该成果已投稿。. 本项目的研究既丰富了随机微分方程及随机种群系统的理论，同时也揭示了现实世界中生态系统的发展规律。