金融数学中的完全非线性方程的自由边界问题

In the last decades, along with the development of Mathematical Finance, Partial Differential Equation (PDE) has become an important tool in solving financial problems. In China, various financial problems have been studied using PDE, and those endeavors develop theories of PDE. Some singular control problems in financial models can be treated as free boundary problems of fully nonlinear equations with gradient constraint. In this project, our objective is to solve two free boundary problems of fully nonlinear equations with gradient constraint in risk control problems. The first one is to study the existence of the classic solution to the fully nonlinear equations and properties of free boundary, the second one is to study the existence of the nontrivial solution and the properties of free boundary. These problems are representative in risk control problems, and have considerable degrees of difficulty in PDE, as well as potentials in future application. The approaches in this project would develop a new framework for a class of financial problems, and provide the theoretical basis for the numerical analysis.

近几十年来，随着金融数学的发展，偏微分方程已经成为解决金融问题的重要工具。国内专家利用偏微分方程成功地解决了金融数学中的许多重要问题，同时发展了非线性偏微分方程的理论。金融问题中的某些奇异随机控制问题可以转化为带有梯度约束的完全非线性方程的自由边界问题。本项目拟研究两个带有梯度约束的完全非线性方程的自由边界问题。第一个问题主要研究完全非线性方程古典解的存在性以及自由边界的性质；第二个问题中的完全非线性方程更具一般化，主要研究非平凡解的存在性以及自由边界的性质。这两个问题在非线性偏微分方程领域具有一定的难度，在风险控制模型中又有一定的代表性。本项目的研究方法为研究金融数学的一类问题开拓了新的研究思路和方法，同时也丰富了完全非线性偏微分方程自由边界问题的理论，为业界的数据研究提供可靠的理论依据。

金融数学的主要任务是研究具有金融背景的数学问题。偏微分方程和随机分析是解决金融数学的两大工具。本项目主要利用偏微分方程技术研究两个完全非线性方程的自由边界问题，这两个问题的金融背景都是公司的再保险及最优分红问题。据我们所知，偏微分方程理论暂时还没有这类完全非线性问题的自由边界性质的相关研究结果，同时所得到的结果也是利用随机分析到目前为止还无法得到的。这充分说明了偏微分方程在解决金融数学问题的重要性，同时也丰富了偏微分方程的理论。