Banach空间中预解算子族和非线性微分包含及其应用

The main object of this project is to study the asymptotic properties of resolvent families under spectral conditions, the asymptotic behaviour and flow invariance of integral-differential inclusions. The research on the spectral characterization of the asymptotic behaviour of resolvent families and the asymptotic behaviour and flow invariance of integral-differential inclusions plays a key role in the improvement and development of the resolvent family theory as well as the integral-differential inclusion theory. We will study the stability and ergodic theory of resolvent families under the gloable spectral conditions by using the ideas and methods of Contour integral, spectral analysis, operator theory and nonlinear analysis, study the local stability and ergodic theory of resolvent orbits under the local spectral conditions by using the method of local unitary spectrum and the technique of invariant subspace, study the almost periodicity of solutions of nonlinear integral-differential inclusions under the spectral conditions by using the method of evolution resolvent families, study the characterization of compactness of resolvent families and flow invariance for integral-differential inclusions with Cauchy conditions and nonlocal conditions, respectively. The expect results in this project are of great importance in the study of the theories of resolvent families and differential inclusions and their applications.

本项目拟研究谱条件下预解族的渐近性质和相应积微分包含解的渐近行为以及不变流问题。作为比算子半群更广泛的一类算子族，预解族渐近性质的谱刻画和相应积微分包含解的渐近行为以及不变流研究，不仅对完善和发展预解族理论，而且对有着广泛应用的积微分包含理论都具有十分重要的理论意义。本项目将重构Contour积分方法，结合谱分析、算子理论以及非线性分析的思想和方法，研究全局谱条件下预解算子的稳定性和遍历性理论；利用局部单一谱方法和不变子空间技巧，研究局部单一谱条件下预解轨的局部稳定性和局部遍历性理论；建立发展预解族方法，研究非线性积微分包含在谱条件下解的概周期性等渐近性质；研究预解族的紧性刻画，并利用逐段构造方法和整体逼近思想，分别研究具初始条件和具非局部条件积微分包含的不变流问题。本项目预期结果对进一步完善和发展预解算子族理论和微分包含理论及其应用具有十分重要的意义。

Banach空间中预解算子族理论和非线性微分包含理论是泛函分析研究的重要课题和研究热点，其在微分方程、控制论等领域有着广泛的应用。.通过重构Contour积分路径和Rescaling技巧给出了解析预解算子在谱条件下几乎指数稳定和指数稳定的充分条件。在全局谱条件下，利用Hilbert空间理论、预解算子理论和调和分析方法，给出了预解算子族一致稳定的GGP型定理和弱L^p型定理。通过构造新的算子值函数，给出了Banach空间中预解族强稳定的ABLV型定理。利用空间直和分解和算子理论，获得了无界预解算子族的Abel遍历和Cesaro平均遍历的充分条件。部分结果本质上推广了半群情形的稳定性结论。 .建立并发展了预解算子族理论，特别是证明了预解算子族的从属原理，同时引入加权时滞条件解决Riemann-Liouville分数阶时滞发展系统在零点处的奇异性，给出了相应发展系统解集的拓扑刻画，进一步获得了扰动项失去Lipschitz条件时该系统的逼近可控性。通过两次极小化序列方法获得了非线性项失去Lipschitz条件时相应系统的Lagrange最优控制和时间最优控制的存在性。同时，运用紧性方法去掉了时间最优控制问题中状态空间的自反性条件。上述结果本质上改进并推广了已知的结论。.利用测度理论，证明了伪概自守函数的复合定理，由此给出了一类半线性分数阶微分方程的伪概周期解和伪概自守解存在唯一的条件。利用逐步构造近似解的方法，证明了当相关半群为紧半群，扰动函数为Caratheodory型时，不变流存在的充要条件是切条件几乎处处成立。还得到了当初始值在区间内部时，一类非线性Caputo分数阶微分方程不变流存在的一个充分条件是切条件成立。.极大正则性和离散极大正则性是偏微分方程和数值分析理论中的重要概念和研究热点。利用预解理论和分析技巧获得了Caputo型分数阶柯西问题在加权Holder空间中的适定性和极大正则性，并通过细致的离散化逼近方法和计算技巧得到了隐式和显式差分格式解的存在性，进一步利用一些精细的估计以及变换技巧获得了相应的解在离散L^p空间中的极大正则性和稳定性。另外，还获得了一类Yang-Baxter型矩阵方程在谱条件下解的存在性和表示。