球面上次黎曼结构的几何及谱分析

近些年，次黎曼(sub-Riemannian)几何的理论有了很多进展，与其他领域（CR几何、量子力学、度量几何、图像学等）的联系也得到了广泛的研究。.本项目研究球面上的次黎曼几何及其sub-Laplace算子和Grushin型算子的谱性质。我们首先研究所有球面上满足强括号生成条件的次黎曼结构的存在性及其分类；然后，研究得到的次黎曼结构上的sub-Laplace算子和Grushin型算子的谱和谱zeta函数，及其与次黎曼几何的关系；最后，研究 球面上次黎曼测地线的表达式和个数问题。.本项目的结果和谱分析的方法对于次黎曼几何理论具有重要意义,在量子力学中会有一定的应用。

近些年，次黎曼(sub-Riemannian)几何的理论有了很多进展，与其他领域（CR几何、量子力学、度量几何、图像学等）的联系也得到了广泛的研究。在量子力学的研究中，奇数维球面上的Hopf丛的次黎曼结构自然地出现。我们研究了这种次黎曼结构的曲率不变量并用复射影空间的Fubini-Study度量的黎曼曲率算子和Hopf丛的曲率形式给出了表达式。同时，由截面曲率和曲率形式的上下界，我们给出了次黎曼测地线的共轭点的个数的比较定理。本工作应用了I. Zelenko和项目负责人的前期的关于余维数1的次黎曼结构的曲率和比较定理的工作，同时为其提供了一个典型的例子。