凸体的赋值理论与Busemann-Petty型问题

凸几何分析是20世纪80年代由V.D. Milman、J. Bourgain和E. Lutwak等人在经典Brunn-Minkowski理论的基础上发展起来的几何学与泛函分析的一门交叉学科。凸体的赋值（valuation）理论和Busemann-Petty型问题是凸几何分析中颇受关注的两个热点研究方向。本项目拟采用Radon变换、Fourier变换、调和分析和变换群理论等工具来研究如下问题：低维广义Busemann-Petty问题；投影体和质心体的Busemann-Petty型问题；截面体的度量极值性质； Busemann-Petty问题与赋值理论的关系；星体集上的在SL(n)或SO(n)下不变的赋值的特征。这些都是凸几何分析中具有代表性的重要问题，因此具有重要的理论研究价值。同时，这些问题的研究与几何断层学、CT扫描和信息论等应用学科密切相关，具有广泛的应用前景。

本项目研究了凸体的赋值理论与Busemann-Petty 型问题.在研究过程中巧妙地运用质量迁移、影子系统等重要的几何工具，获得了如下研究成果：我们建立了关于迷向测度平均宽度的不等式；证明了关于正双John 基的Brascamp-Lieb 不等式及其逆形式；使用影子系统，我们给出了Orlicz Busemann-Petty 质心不等式的新证明；证明了Lp 空间的一个强大数定理，并且建立了对偶Brunn-Minkowski 不等式的概率版本；给出了关于Mahler 猜想的二维情形的新的证明.这些工作在现代凸几何分析研究中是十分前沿的，推动了凸体的赋值理论与Busemann-Petty 型问题的研究，得到了国内外同行的关注和好评.