两类弱耗散浅水波方程的研究

Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程是新近发现的能描述孤立子和波的破裂现象的重要可积浅水波方程,近年来引起高度关注并得到广泛研究.考虑到实际中,在流体流动过程中很难避免能量的耗散,本项目研究带四种不同耗散项的弱耗散Camassa-Holm方程和弱耗散Degasperis-Procesi方程的相关问题,包括局部适定性,blow-up现象,整体存在性和整体解的长时间性质,弱解的存在唯一性及弱解的例子,高维的相应问题等.这些问题的研究,有助于人们认识浅水动力系统中耗散机制的作用和影响,具有重要的实际意义.

本项目研究带四种不同弱耗散项的Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程的相关问题，包括局部适定性，blow-up现象，整体存在性和整体解的性质，弱解的存在唯一性和弱解的例子，高维的相应问题等。项目一直按研究计划进行，到目前为止，取得了以下的成果: 证明了弱耗散Camassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程的弱解的存在唯一性; 证明了具零阶耗散的Camassa-Holm方程的初值问题的局部适定性，并研究了其blow-up现象；证明了具零阶耗散的Degasperis-Procesi方程的初值问题的局部适定性，并研究了其blow-up现象；证明了一类耗散型Camassa-Holm方程的初值问题的局部适定性，并研究了其blow-up现象；证明了一类耗散型Degasperis-Procesi方程的初值问题的局部适定性，并研究了其blow-up现象。