四阶偏微分方程的区域分解算法研究

Fourth order partial differential equations play important roles in ocean meteorology, physics of fluids and biological morphogenesis. Domain decomposition methods for solving biharmonic equation and fourth order diffusion-advection equation is a critical research field in engineering computations. The traditional domain decomposition methods usually pay much attention to constructing the coarse space rather than designing the interface transmission condition, which lead to the slow convergence rate. On the other hand, Robin-type domain decompositioin method, which is new and widely used, is usually superior to the traditional domain decomposition methods. In this research project, we will first improve the traditional domain decomposition method for the biharmonic equation. Especially, we will propose some suitable interface transmission conditions, which form our new algorithms. Furthermore, we will study the Robin-type domain decomposition method for biharmonic problem, develop the Robin transmission condition and give its convergence analysis. Finally, based on the research for biharmonic equation, we will extend the Robin-type domain decomposition method for solving the fourth order diffusion–advection equation. The research work of this project, which has significant scientific meaning, will improve the theory of domain decomposition methods for solving fourth order partial differential equations, and will propose the key idea for designing algorithms.

四阶偏微分方程在海洋气象学、流体物理、生物学等应用领域中发挥着重要作用，其中关于双调和方程及四阶对流扩散方程的区域分解算法是工程计算领域中非常重要的研究方向。这类问题的传统区域分解算法通常侧重粗空间的构造，而对子区域之间交界面传输条件设计的关注较少，导致算法收敛较慢；另一方面，Robin型区域分解算法作为一类新型算法，它的收敛速度通常优于传统算法，是值得深入研究的方向。本项目将针对双调和方程，研究交界面传输条件对传统算法收敛率的影响，改进传统区域分解算法，提出新算法；在此基础上进一步设计求解双调和方程的Robin型区域分解算法，给出收敛率分析结果；结合前述关于双调和方程的研究内容，进一步研究求解四阶对流扩散方程的Robin型区域分解算法。本项目的研究具有重要的科学意义，将完善求解四阶偏微分方程的区域分解算法理论，给出算法设计的关键思路。

四阶偏微分方程在海洋气象学、流体物理、生物学等应用领域中发挥着重要作用，其中关于求解四阶偏微分方程的区域分解算法是工程计算领域中非常重要的研究方向。本项目针对双调和方程，研究了交界面传输条件对传统算法收敛率的影响，改进了传统区域分解算法，提出了新算法;在此基础上进一步设计了求解双调和方程的Robin型区域分解算法，给出了收敛率分析结果并进行了数值验证;最后将该算法推广到了四阶对流扩散方程中。通过理论分析和数值实验，我们得到了影响传统区域分解算法收敛速度的原因，为算法的修改优化提供了依据，使得改进的新算法收敛率达到了最优；另外，对于新设计的Robin型区域分解算法，通过选取最优参数，使得算法收敛率达到了与二阶椭圆问题相同的最优收敛效果。本项目的研究成果具有重要的科学意义，我们形成了一套完整的算法设计和收敛分析流程，并给出了参数选取范围以及最优参数条件，从而完善了求解四阶偏微分方程的区域分解算法理论，为类似问题的算法设计提供了思路。