完备随机内积模上随机线性算子理论及其在随机算子理论中的应用

In this project, we convert the spectral theory of random operators and the solution problems of random operator equations to the corresponding problems in the random metric theory by reasonable construction, and study random linear operators on complete random inner product modules. Furthermore, we give the random spectral decomposition on random spectral sets of self-adjoint random linear operators. Especially, we study the solution problems of random linear operators on complete random inner product modules and the Gelfand representation theory of commutative random C*-algebras and the continuous random functional calculus of normal elements. These work provides a new approach to the study of the related issues in the random operator theory. Not only the results achieved by the project have a wide range of applications in the random operator theory, but also the research contents and methods in the project reflect the intrinsic link and combination of the random operator theory, stochastic analysis and the random metric theory.

本项目将随机算子的谱理论与随机算子方程的解问题通过合理构造转化为随机度量理论中的相应问题，并研究完备随机内积模上的随机线性算子，给出自伴随机线性算子在随机谱集上的随机谱分解定理。尤其研究完备随机内积模上随机线性算子方程的解问题与交换随机C*-代数的Gelfand表示理论以及正常元的连续随机函数演算。这些工作为随机算子理论中相关问题的研究提供了一条全新的途经。该项目所取得的结果不仅在随机算子理论中有广泛的应用价值，而且研究内容与方法也体现出了随机算子、随机分析与随机度量理论的内在联系与融合。

本项目将随机算子的谱理论与随机算子方程的解问题通过合理构造转化为随机度量理论中的相应问题，建立了完备随机赋范代数的理论框架，得到了非常重要的Wintner定理，进而利用完备随机赋范代数中已经建立的拟极大理想集合与可乘函数集合之间的基本联系，通过得到的随机谱半径公式建立了交换随机代数的Gelfand表示理论，从代数的角度给出了完备随机内积模上自伴随机线性算子在随机谱集上的随机谱分解定理。通过建立相应的不动点定理，给出了完备随机赋范*-代数中的Ford平方根引理，并应用到一类完备随机内积模上随机线性算子方程的解问题中。 这些工作为随机算子理论中相关问题的研究提供了一条全新的途经。该项目所取得的结果不仅在随机算子理论中有广泛的应用价值，而且研究内容与方法也体现出了随机算子、随机分析与随机度量理论的内在联系与融合。