大型稀疏不定最小二乘问题的预处理及高效算法研究

本项目将系统研究大型稀疏不定最小二乘问题的预处理及高效算法。一方面提出比现有CGILS,ILSQR算法收敛性质更好的Krylov子空间算法，并通过A的不完全矩阵分解和近似加权广义逆两种途径研究不定最小二乘问题的预处理，以期高效加速迭代的收敛速度。另一方面通过分析ILSQR算法的舍入误差，制定适合ILSQR算法的全部或部分重新正交化策略，改善ILSQR的收敛速度。同时，本项目还将构造求解不定最小二乘问题的分块SOR迭代算法，分析分块SOR算法与CGILS算法的联系和区别。本项目的研究成果将大大丰富和完善大型稀疏不定最小二乘问题的算法，并有效促进这一模型在科学与工程计算领域的应用。

本项目主要研究稀疏不定最小二乘问题(ILS问题) min(b-Ax)^TJ(b-Ax), 其中J=diag(I_p,-I_q)为符号矩阵. 这一问题在数据含误差的模型、加权总体最小二乘问题、 参数估计模型中都有很强的应用背景。虽然文献中已有不少稳定的直接算法，但这些算法对大规模稀疏问题会增加存储量和计算量。构造高效的迭代算法和预处理子是非常有意义的研究课题。本项目组成员通过探索，得到解决不定最小二乘问题的以松弛迭代法为基础的分裂迭代算法，并给出了最佳松弛因子； 同时为了加速解ILS问题的Krylov子空间算法，本项目组给出了两种预处理方案，该方案能有效加速对应的Krylov子空间算法的迭代速度， 整体运行效率也被证明是高效的, 特别是对病态的ILS问题。. 同时，本项目组还得到了解几类线性(四元数)矩阵方程组的算法， 并探讨了一类非线性矩阵方程组Hermitian正定解存在的充要条件。