变系数非线性偏微分精确解的研究及其应用

The vast majority of natural phenomena by its very nature is nonlinear,factors to consider media uneven and inconsistent of boundaries, there has been a lot of changes with time or space factor of the so-called differential equations with variable coefficients. Soliton theory has been one of the hot areas of concern to scholars, which plays an important role in nonlinear systems.. Based on the integrable theory, analytical solution solving methods and numerical experiments for solutions are investigated in several nonlinear partial differential equations with variable coefficients in this project，and a series of research results is obtained.In terms of integrability theory, some new integrable equation with physical significance is found ，the thought of Wu's method with elimination was introduced, the Painlevé theorems and discrimination package for equations of variable coefficients are given；In terms of exact solutions constructed in theory and applications, according to dynamical systems theory and solitary wave solutions relationship，exact solitary wave solutions of nonlinear equations with variable coefficients is studied under different parameters,and computer simulation to verify the theoretical analysis . The problem comes from the practice, has important practical significance.By studying this project, not only provides a new theoretical basis for the study of dynamical systems, but also for the development of soliton theory and integrable systems provide useful research methods and new research ideas.

绝大多数自然现象就其本质而言是非线性的,考虑传播介质的不均匀性与边界的不一致性等因素，出现了大量的系数随时间或空间变化的所谓变系数微分方程。孤立子理论在非线性系统中扮演着重要角色，一直是国内外学者关注的热点领域之一。.本项目基于可积性理论、解析求解方法和解的力学数值实验等三个方面，对变系数非线性偏微分方程的发展规律进行研究，并形成系列成果。在可积性理论方面,发现一批具有物理意义的新的可积方程,引入吴方法消元思想，给出适用于变系数方程的Painlevé定理及判别程序包；在精确解构造性理论和应用方面,根据动力系统理论与孤波解之间的联系,研究非线性变系数方程在不同参数条件下的精确的孤立波解，并进行计算机数值模拟，验证理论推导的正确性，这些问题来自于实践,具有重要的现实意义。本项目的研究，不仅为动力学系统的研究提供新的理论依据，也为孤立子理论和可积系统的发展提供有益的研究方法和新的研究思路。

孤立子理论在非线性系统中扮演着重要角色，一直是国内外学者关注的热点领域之一。绝大多数自然现象就其本质而言是非线性的,考虑传播介质的不均匀性与边界的不一致性等因素，出现了大量的系数随时间或空间变化的所谓变系数微分方程。本项目基于可积性理论、解析求解方法和解的力学数值实验等方面，对变系数非线性偏微分方程的发展规律进行研究。.围绕一类不可积的力学、物理方程及孤波理论的研究，本项目团队，从方法的变化、解的结构、解的形式等方面进行了多方位研究和探讨，使用和改进多种有效求解不可积非线性方程的方法和技巧;在精确解构造性理论和应用方面,根据动力系统理论与孤波解之间的联系,研究非线性变系数方程在不同参数条件下的精确的孤立波解。对解的结构进行分析与研究，侧重从孤尖波和Lump解等解的结构方面进行了研究和探讨, 并进行计算机数值模拟，验证理论推导的正确性。在研究的过程中，对目前很关注的分数阶偏微分方程一并进行了研究，对项目的研究范围有了一定的拓展，收效较好，这些问题来自于实践,具有重要的现实意义，本项目的研究, 不仅大大促进了科学技术的发展，也极大地推进了数学自身的发展。