n-李代数及其在数学物理中的应用

N-Lie algebra has intimate relations with dynamics, geometry, string theory and membrane theory. Changing the algebra relations of some infinite dimensional n-Lie algebra to be the relations of the equivalent Fourier transformation field, by the evolution equation of Nambu-Hamilton, some integrable equations can be derived. We intend to investigate the property of n-Lie algebra and its relation with the.integrable system; the supersymmetry of n-Lie algebra and its relations with integrable hierarchy; the property of the q-deformation of n-ary algebras and their application in Mathematical Physics; the categorification of n-Lie algebra.

n-李代数与动力学、几何学、弦理论以及膜理论有密切联系，把一些无穷维n-李代数的代数关系变换为等价的傅里叶变换场关系，通过Nambu-Hamilton运动方程可以得到可积的运动方程。本项目主要研究 n-李代数的性质及其与可积系统的联系；n-李代数的超对称化及其与超可积方程的联系；q形变的n-ary 代数的性质及其在数学物理中的应用以及n-李代数的范畴化等内容。

我们研究了W_{1+\infty} 3-代数与光纤中的非线性薛定谔方程. 利用W_{1+\infty} 3-代数，我们构造了推广的 Nambu-Poisson 演化方程，得到了一个复杂的高阶非线性薛定谔方程. 同时，从麦克斯韦方程出发，我们也导出了光纤中的高阶非线性薛定谔方程. 我们研究了光纤中的高阶非线性薛定谔方程和从W_{1+\infty} 3-代数导出的高阶非线性薛定谔方程，发现经过某些变换，在无光纤缺失情形下，光纤中的带有三阶和四阶色散效应的非线性薛定谔方程可以转化为从W_{1+\infty} 3-代数导出的高阶非线性薛定谔方程. 在此意义下，从W_{1+\infty} 3-代数导出的高阶非线性薛定谔方程是光纤中的非线性薛定谔方程的推广. 我们也求出了W_{1+\infty} 3-代数导出的高阶非线性薛定谔方程的正合解，这将有助于研究光纤中的光脉冲传播.. 根据一个3-李代数和 dKP 族的经典泊松括号{B_n, L}，我们定义了一个特殊的 3-括号 {B_m, B_n, L}. 我们证明了m=0 和m=1 情形下，3-Lax 方程 ∂L/∂t= {B_m, B_n, L} 都是 dKP 方程族. 对一般情形的 (m,n)，我们研究了3-Lax 方程，得到一个包含了 dKP 族的方程族.