标量混合输运的统一测度分析、仿真及优化控制

Recently, much research efforts have been dedicated to the study of scalar mixing and transport in fluid flows using a multiscale mixing measure closely connected to Sobolev norms. Based on the advection-diffusion model with sources for scalar fields, we propose to investigate the evolution of the multiscale mixing norms under complex flow/source fields as well as general initial and boundary conditions. We will develop numerical algorithms with adaptive mesh refinement, parallel computing and dynamic visualization capabilities, along with a theoretical framework using PDE theory, asymptotic, variational and stochastic analysis. We aim to identify the dominant physical mechanisms under different characteristic scales, and to derive the corresponding scaling laws for the scalar mixing enhancement due to flow stirring and transport. Our goal is to establish a unified mixing measure with this mixing norm and its superiority over conventional mixing measures. Furthermore, we will construct cost functions with this measure and perform optimal control under practical constraints. This project will provide a theoretical and numerical approach to systematically evaluate, predict and control the fundamental phenomena involving scalar mixing and transport which are ubiquitous in nature and in engineering.

近年来，用一种类Sobolev范数的多尺度混合测度统一描述流场中的标量混合输运现象，成为了国际学术研究的重要课题。本研究拟在标量场的有源对流－扩散模型基础上，考察复杂流/源场和一般初始边界条件下多尺度混合范数的演化规律，通过开发具网格自适应、并行计算、动态数据可视化等能力的高性能数值仿真代码，结合偏微分方程、渐近方法、变分法和随机过程等理论分析，识别不同主导物理机制和特征尺度，确定标量混合增强对问题参数的函数依赖关系（标度定律）。我们将明确新型混合范数作为广适性混合测度对比其他测度的优越性和相互关联，实现在工程约束条件下的混合优化控制，为自然界和工程中普遍存在的标量混合输运现象提供理论和数值研究方法并进行评估、预测和控制。

标量场的混合输运在科学工程实践中广泛存在因此其研究有着重要理论和实践意义，然而经典的等效对流--扩散方程模型在描述一些非线性混合问题时有着缺陷和困难。本项目主要研究内容即为研究在不同物理机制、几何区域或边界条件等情况下，用一种多尺度、类Sobolev范数刻划混合输运的相关建模分析、仿真和优化控制等问题。项目资助期间，研究的重要结果包括 1). 理论上严格证明了前期对周期性边界条件下最优混合的一项数值结果，另外对将该优化算法推广到了更具普遍意义的狄利克莱和诺伊曼边界条件; 2). 受近年国内外两起重大漏油事故及造成环境灾害的启发，与实验相结合，研究了在分层条件下喷流最优混合问题，再现了实践中观测到的油污被密度分层界面捕捉的现象，并加以理论分析; 3) 在对生物源混合的建模方面，对前期参与首创的微观随机流体力学简化模型作了推广，考虑了因游动个体相互非线性作用产生的集群效应，发现了两种互异的增强机制并从数学和物理上加以分析；4). 结合本项目研究与“大数据科学”的前沿科学趋势，针对日益受关注的城市污染中的混合输运问题，与新合作者一同开发了流体问题仿真中的两类降维算法，对快速、高性能仿真相关模型有着很大作用。项目成果包括已发表或被收录入国际顶级期刊2篇，在审3篇等。