图谱性质的研究

Graph spectrum is one of important topics in algebraic graph theory. It mainly uses the eigenvalues of graphs to study the constructive properties of graphs. This project concentrates on the depth and extension of spectral graph theory. The contents include the spectral radius, Laplacian spectrum，signless Laplacian spectrum of graphs and the line distance matrix associated with DNA sequence. In this project, it will be expected to solve a conjecture on the spectral radius of non-regular graphs, and study the relation between the Laplacian-like-energy invariant and Kirchhoff index and find the extremal graphs on the Laplacian-like-energy among some graph classes. We will combine the matrix and inequality theories to solve a conjecture on the sum of Laplacian eigenvalues. By using the ways and techniques on the spread and Laplacian spread, we will study the signless Laplacian spread. Also we will extent spectral graph theory to the line distance matrix and matrices associated with DNA sequence. It is significant for enriching and developing spectral graph theory.

图谱理论是代数图论中的一个重要课题之一。 其主要通过图的特征值来刻画图的结构性质。 本项目着重于图谱理论的深入和拓广。 研究的内容以图的谱半径、图的拉普拉斯谱、无号拉普拉斯谱，以及由DNA序列所决定的线距离矩阵的谱为研究对象。项目预期彻底解决非正则图的谱半径猜想, 研究图的拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指数的关系，以找出某些图类中关于拟拉普拉斯能量的极图;结合矩阵和不等式理论，以解决一个关于图的拉普拉斯谱和的猜想；利用谱展和拉普拉斯谱展的方法和技巧，研究无号拉普拉斯谱展。并把图谱理论推广到线距离矩阵及与DNA序列相关的矩阵。项目的研究成果对完善和发展图谱理论有重要意义。

背景：图谱理论是图论近年来较活跃的分支之一，是用矩阵论理论研究图的组合结构及其应用的重要课题。其主要通过图的特征值来刻画图的结构性质。 本项目着重于图谱理论的深入和拓广。 .主要研究内容：以图谱及相关的化学拓扑指标为研究对象。研究图的拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指标的关系;利用图谱的方法和技巧，研究数学化学中的关于Randic指标猜想及Narumi-Katayama指标的极图排序等若干课题。.重要结果：（1）完全确定了给定阶数的化学图关于拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指标的大小比较。给出了正则图及其线图关于拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指标的大小比较。得到给定阶数和团数的连通图关于Kirchhoff指标的极小图及对拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指标的大小比较。.（2）研究了给定阶数和直径的树图、单圈图关于Narumi-Katayama指标的极图； 给定阶数的单圈图的第二和第三小Narumi-Katayama指标的极图；给定阶数的双圈图的最小Narumi-Katayama指标的极图。.（3）证明了关于Randic指标与平均距离的猜想在单圈图类中的正确性。.（4）出版一本关于图谱关于图的谱半径、图的拉普拉斯谱、图的无号拉普拉斯谱、DNA序列所决定的矩阵的专著。.（5）撰写了<<化学图论的界>>系列专著中的一章，涉及拟拉普拉斯能量与Kirchhoff指标。.项目的研究成果具体意义如下：.(1) 考虑了图的最小Kirchhoff指数与最大LEL值这间的关系，对完善和发展图谱理论有重要意义。.(2) 利用图谱的加边法、生成子图法来研究化学拓扑指标等问题，将加深我们对图谱与图的结构刻画的认识。.(3) 在研究Randic指标猜想时，利用了不等式、矩阵论等方法中关于特征值的经典结果。