高维非齐次守恒律方程解的新的复杂结构及其演化的研究

Multi-dimensional non-homogeneous conservation laws on which we will research has important significance in theory and application. This equation has multi-dimensional space and source term, so it is hard and challenging to be researched..This project will study the initial-value problem of multi-dimensional non-homogeneous conservation law, including: First, how to construct and classify the singular structures of Riemann problem for multi-dimensional non-homogeneous conservation law by the method of envelope; Second, find the necessary and sufficient condition for existence of global smooth solution of multi-dimensional non-homogeneous conservation law, and research the blow-up mechanism; Third, research the dependencies between the structure of weak solution and source term for the conservation law. .Feature of this project: First, we generalize the convex condition and envelope analysis of homogeneous case to those of the non-homogeneous case, construct the structures of non-selfsimilar solution of non-homogeneous case, and classify the global structures of non-selfsimilar solution based on the type of envelopes; Second, since the change of solution for multi-dimensional non-homogeneous equation is much more complex than the case of one dimension or homogeneous, it may contain some new phenomena; Third, we have found a sufficient condition and a necessary condition for existence of global smooth solution, and the mathematical expressions of the two conditions are very close, thus it is nature to find the necessary and sufficient condition, which is meaningful to be found and be proved.

本项目计划研究的高维非齐次守恒律方程具有重要理论意义和应用价值。本类方程有多个空间变量且存在非齐次项，因此研究难度大，具有挑战性。.本项目主要研究以下几个问题：1、运用包络面方法，研究高维非自相似黎曼解的奇性结构的构造及其分类的问题；2、发现高维非齐次方程的光滑解存在的充要条件，并研究解的爆破机制；3、研究非齐次项的变化对其弱解结构带来的本质性变化，及两者变化之间的关系。.本项目的特色：1）我们将用对特征曲面的包络分类的方法，利用包络分类来对非自相似解的不同结构进行分类，并发现其逐渐演化的规律；2）高维非齐次方程的解的变化比一维或齐次方程的情形复杂得多，预计会产生一些新现象；3）我们已经分别得到了光滑解存在的充分条件和必要条件，两个条件的数学表述非常接近，为此我们自然地想去研究光滑解存在的充要条件，发现并证明充要条件的研究具有重要意义。

本项目研究的高维非齐次守恒律方程具有重要理论意义和应用价值。 本类方程是许多物理问题的模型方程，比如燃烧模型和空气动力学等等。.本项目主要研究内容为如下守恒律方程的初值问题：1、高维非齐次守恒律方程的光滑解产生奇性的机制，全局光滑解存在的充要条件。2、高维非齐次守恒律方程的非自相似Riemann问题: 构造其非自相似基本波解，基本波的相互作用而产生的奇性结构及其分类。3、一维守恒律方程的弱解表达式，弱解的局部奇性结构及其大时间行为。.本项目的结果：1、我们得到了光滑解的公式，并应用该公式得到了全局光滑解存在的充要条件，光滑解爆破的充要条件及其精确的爆破时间。2、对于带有非Lipschitz源项的高维守恒律方程，我们证明了分片光滑解的唯一性，得到了非自相似Riemann问题适定性，构造了高维非自相似激波和稀疏波解。3、我们构造了一维凸守恒律方程的Cauchy 问题的弱解公式；并通过弱解公式研究了弱解的性质，得到了Cauchy 问题的六种基本波，弱解的局部奇性结构，以及解的大时间行为。