正规族、正规函数及唯一性

In this project, we shall mainly study : the theory of normal families, normal functions and uniqueness of meromorphic functions. The theory of normal families is a classical topic of complex analysis，and plays a central role in the development of complex analysis. Due to the new methods and new applications being discovered, this topic is very active now. We shall do some further research on this topic, such as, normal families concerning exceptional (sharing) values or functions, normality relationships between two families, the properties of families at non-normal points, quasinormal families and applications of the theory of normal families, etc.. In addition, we shall study normal families of holomorphic mappings on multidimensional spaces. Normal functions, which is colsely related to normal families, is another classical topic of complex analysis, and plays an important role in the study of the theory of geometry functions. But, for lack of appropriate methods and tools, there have been a few results presented in the past years. We shall study this topic and try to get some normality criteria for functions. The uniqueness theory of meromorphic functions is an important topic of complex analysis, and has become inextricably linked to the theory of normal families. Up to now, a huge number of results have been achieved. However, there are still some problems worth studying. We plan to study this topic mainly on: using normal families theory to study the uniqueness of meromoorphic functions, Gross's question, and uniqueness of holomorphic（meromorphic） mappings.

本项目主要研究亚纯函数的正规族、正规函数与唯一性理论。亚纯函数正规族理论是复分析的经典课题，在复分析的发展中起着关键作用。由于新方法的产生和新应用的发现，目前此课题的研究依然十分活跃。我们将在这方面进行进一步的研究，具体有：关于例外（分担）值或函数的正规族、不同函数族之间的正规关系、不正规点处函数族的性质、拟正规族、及正规族理论的应用等，另外也将探讨高维情形的全纯映射的正规族。正规函数是复分析的另一经典课题，且与正规族关系极为紧密，它在几何函数理论研究中十分重要。但由于方法等原因，这方面成果还不多，我们希望在这方面做些探索工作并得到一些有意义的正规函数定则。亚纯函数唯一性理论是复分析的一重要分支，也与正规族理论有着诸多关联，目前这方面成果较丰富，但仍然有许多值得研究的问题。我们将主要研究：应用正规族理论研究亚纯函数唯一性问题、Gross问题、以及全纯(亚纯)映射的唯一性。

亚纯函数正规族理论是复分析中的经典课题并在复分析中有着重要的应用，正规函数是复分析的另一经典课题，且与正规族有着紧密的联系，在几何函数理论研究中十分重要。本项目我们主要研究了亚纯函数正规族、正规函数及相关问题，得到了一些有意义的结果，目前在国际学术刊物上已发表发表论文12篇（其中两篇目前线上发表，1篇接受发表），另有几篇在投或整理中。.主要研究成果有以下方面：.1. 研究了涉及例外函数的Miranda-Gu正规定则，得到结果改进与推广了张国明-庞学诚-Zalcman等已有的相关结果。.2.研究了关于分担函数的亚纯函数族正规定则，推广了常建明、方明亮-Zalcman等人相关结果，把其中的分担值（函数）推广到一般的亚纯函数。.3. 从另一角度改进推广了Miranda-Gu正规定则，即：允许函数族中函数取到0，且其k阶导数取到1（或更一般的解析函数），而通过限制它们的重级来保证函数族正规，结果改进或推广杨乐-张广厚、Schwick、Bergweiler-Langley等人这方面的工作，也同时修正了Datt-Kumer的结果。.4.对已有的一些函数族正规定则的条件进行了研究，构造反例说明某些条件是最好的或必需的；研究了函数族在不正规点附近的性质，由此证明了：我们这些反例某种意义上是唯一的，还因此获得了一些新的函数族正规定则。.5.根据Marty定则，任何在单位圆盘内正规的函数族必定存在正规常数，即：族中所有函数的球面导数在原点的共同上界。Bonk-Cherry首先得到了Montel正规族的正规常数，我们研究得到了Miranda正规族的正规常数的一个下界583。.6.研究了正规函数的正规定则，改进了陈怀惠-Lappan关于正规函数的几个正规定则，主要减弱了对函数零点重级的要求，同时证明了：球面导数乘积只要在较小的集合上有界就能得到函数是正规；还得到了函数与其导数分担集合的几个关于正规函数的判定定则，由此推广了Lehto-Virtanen关于正规函数的经典结果。.7.研究了某类函数的星形和凸性性质，还得到了一些星形和凸函数的判定定则，改进了Ponnusamy-Singh的相关结果，并举例说明我们的某些结果是最好的。