高维非线性动力学系统规范形计算及应用的研究

The mechanical models for a variety of problem in the field of mechanics, aircraft, aerospace, mechanical engineering, can be described by high-dimensional nonlinear systems. The normal form theory is one of the useful tools in the fields of dynamical system, ordinary differential equations and nonlinear vibration and stress a profound influence on complex dynamic theory such as bifurcation and chaos dynamics. In reality, the formulation of high-dimensional nonlinear systems can be used to describe realistic engineering problems mathematically, the development of new computation methods to refine the normal forms for high dimensional nonlinear systems is indispensable.This project presents the renormalization group theory and the method of spectral sequences, which are used for the search of normal forms for large classes of high-dimensional nonlinear systems. Furthermore, the complex behavior patterns of nonlinear systems, such as bifurcation and instability will also be investigated.

力学、航空航天和机械工程领域中，许多问题的力学模型可用高维非线性系统来描述。规范形理论是研究动力系统、微分方程及非线性振动等领域动力学特征的强有力工具，对于分叉和混沌动力学的研究具有重要的理论意义和深远的影响。由于高维系统可以更为准确地模拟工程问题，因此，发展计算高维非线性系统最简规范形的方法是非常重要和迫切的。本项目拟通过理论分析和数值模拟相结合的方法研究高维非线性系统的动力学，提出计算高维非线性系统最简规范形的新方法。主要内容包括：利用重正化群理论和谱序列方法计算高维非线性系统的最简规范形；利用所提出的方法研究高维非线性系统的分叉与混沌动力学。

许多工程问题的力学模型都可用高维非线性系统来描述，因此，发展高维非线性理论并将其应用于力学模型中，揭示高维非线性系统的复杂动力学行为是国际上非线性动力学领域的前沿课题。规范形理论是研究非线性动力系统的强有力工具，对于分叉和稳定性的研究具有重要的理论意义和深远的影响。本项目通过理论分析和数值模拟相结合的方法研究了高维非线性系统的动力学, 对实际工程中非线性系统的设计与振动控制具有一定的理论指导意义。本项目主要研究了高维非线性系统最简规范形的计算、非线性系统的分叉与稳定性行为及退化边界抛物方程解的存在唯一性。截至目前，课题组已经发表的论文共8篇，其中3篇发表在SCI, EI检索的源刊上，如《Abstract and Applied Analysis》、《Open Mathematics》及《Material Research Innovations》. 除原计划发展适用于计算高维非线性动力系统的规范形，应用发展的方法研究高维非线性动力学系统的分叉与稳定性外，还在非线型偏微分方程解的存在唯一性方面取得了一些结果，为以后的研究工作打下了基础。